¿Qué particiones de $[0,1]$ son colección de conjuntos de niveles de una función continua real?

Question

Dejemos que $f:[0,1]\to[0,1]$ se le dará. Los conjuntos de niveles de $f$ (es decir, la colección de todos los conjuntos de la forma $\{x\in[0,1]:f(x)=y\}$ para cada uno de los $y\in[0,1]$ ) dividen el dominio de $f$ . Tengo curiosidad por los criterios de topología de conjuntos o conjuntos puntuales para los que las particiones de $[0,1]$ podrían ser los conjuntos de niveles para una función continua. Es decir, ¿alguien puede rellenar el espacio en blanco del siguiente "teorema"?

TEOREMA : Dejemos que $\mathscr{P}$ sea una partición de $[0,1]$ . Los siguientes son equivalentes.

1. Hay algunos continuo función $f:[0,1]\to[0,1]$ tal que la colección de conjuntos de niveles de $f$ es exactamente la partición $\mathscr{P}$ .

2. La partición $\mathscr{P}$ satisface la propiedad __________.

Incluso en el caso de que todas las partes de $\mathscr{P}$ son finitos, el panorama me parece bastante misterioso. Por ejemplo, está perfectamente bien tener $\mathscr{P}$ consisten en todos los pares, y un singleton (por ejemplo los conjuntos de niveles de $f(x)=(x-1/2)^2$ ), pero imposible para $\mathscr{P}$ para que se componga de todos los pares excepto de dos singletons. ¿Puede alguien ver un principio general no analítico que discierna el primer caso del segundo?

Como nota al margen, la pregunta se puede plantear obviamente con el $[0,1]$ como dominio y codominio sustituidos por espacios topológicos arbitrarios $V$ y $W$ .

EDIT: Se ha corregido el contraejemplo anterior.

Answer 1

Cualquier mapa $[0,1]\to[0,1]$ es un mapa cociente sobre su imagen, y la imagen debe ser un punto o un intervalo cerrado. Por tanto, una partición procede de un mapa de este tipo si el cociente de $[0,1]$ por la relación de equivalencia asociada a la partición es homeomorfa a un punto o a un intervalo. En particular, dada cualquier caracterización de un intervalo hasta el homeomorfismo (entre todos los espacios que son imágenes continuas de un intervalo, que pueden ser a su vez bien caracterizado si se asume que son Hausdorff), se obtiene una caracterización de tales particiones.

Esta es una de esas caracterizaciones, aunque quizá no sea muy fácil de aplicar. Se sabe que cualquier espacio metrizable compacto conectado con a lo sumo dos puntos no cortados es homeomorfo a un punto o $[0,1]$ y cualquier cociente Hausdorff de $[0,1]$ es metrizable. Así que un cociente de $[0,1]$ es homeomorfo a un punto o $[0,1]$ si es Hausdorff y tiene a lo sumo dos puntos de no corte.

Estas condiciones se pueden enunciar explícitamente en términos de la partición como sigue. Digamos que un elemento $A\in\mathscr{P}$ es un corte-ajuste para $\mathscr{P}$ si $\mathscr{P}\setminus\{A\}$ puede dividirse en dos subpartes no vacías y disjuntas $\mathscr{Q}$ y $\mathscr{R}$ tal que $\bigcup\mathscr{Q}$ y $\bigcup\mathscr{R}$ son ambos subconjuntos abiertos de $[0,1]$ . Entonces una partición $\mathscr{P}$ es el conjunto de niveles de un mapa continuo $[0,1]\to[0,1]$ si y sólo si:

1. La relación de equivalencia asociada a $\mathscr{P}$ está cerrado como subconjunto de $[0,1]\times[0,1]$ y
2. Todos los elementos de $\mathscr{P}$ son conjuntos cortados.

(La condición (1) es equivalente a que el cociente sea Hausdorff, y la condición (2) es equivalente a que el cociente tenga a lo sumo dos puntos no cortados).

Answer 2

Después de leer la respuesta de Eric Wofsey, hago la siguiente observación (¡y me gustaría saber si la observación es exacta!).

Dejemos que $f:[0,1]\to[0,1]$ sea continua, y que $\mathscr{P}$ sea la partición de $[0,1]$ que surgen de los conjuntos de niveles de $f$ . Sea $A_+$ y $A_-$ denotan los miembros de $\mathscr{P}$ en el que $f$ toma sus valores máximos y mínimos respectivamente. Entonces para $A\in\mathscr{P}\setminus\{A_+,A_-\}$ , $A$ puede ser visto como un conjunto de corte tomando $\mathscr{Q}$ para ser la colección de miembros de $\mathscr{P}$ contenida en $f^{-1}(-\infty,f(A))$ y $\mathscr{R}$ para ser la colección de miembros de $\mathscr{P}$ contenida en $f^{-1}(f(A),\infty)$ .

Así que ciertamente $\mathscr{P}$ puede contener como máximo dos conjuntos no cortados, a saber $A_+$ y $A_-$ (este es el contenido de la condición de Eric Wofsey (2)). Por el contrario, parece que $A_+$ y $A_-$ son conjuntos no cortados. Por tanto, parece que la solución de Eric Wofsey puede simplificarse ligeramente como sigue:

TEOREMA : Dejemos que $\mathscr{P}$ sea una partición de $[0,1]$ . Los siguientes son equivalentes.

• Existe una función continua $f:[0,1]\to[0,1]$ cuya colección de curvas de nivel es precisamente $\mathscr{P}$ .

• Cada uno de los siguientes dos elementos se obtiene.

  (1) La relación de equivalencia asociada a $\mathscr{P}$ está cerrado en $[0,1]\times[0,1]$ .

  (2') Exactamente dos miembros de $\mathscr{P}$ son conjuntos cortados.

Además, si esto es correcto, entonces las condiciones de Eric Wofsey (1) y (2) implican conjuntamente la condición anterior (2'). Dado que estas condiciones se refieren únicamente a las particiones y no tienen, a primera vista, nada que ver con las funciones continuas, sería interesante ver una explicación de esta implicación que no requiera una discusión de las funciones continuas.

Answer 3

No puedo comentar nada, pero me siento obligado a señalar un error (aunque fácil de corregir) en la respuesta anterior. El círculo unitario satisface las condiciones dadas - NO tiene puntos de corte. Para solucionarlo, sustituye "como máximo dos" por "precisamente dos" y añade no degenerado (es decir, que contiene más de un punto). Esto da una caracterización completa de los espacios homeomórficos a $[0,1]$ . El caso degenerado puede tratarse fácilmente por separado. Por cierto, se puede sustituir la condición de la métrica por la de "regular y contable en segundo lugar", lo cual no es particularmente relevante para su pregunta, pero da una caracterización más satisfactoria, ya que elimina el uso de los números reales.