difeomorfismo explícito entre simplex abierto y bola abierta

Question

¿Cuál es una buena referencia, por ejemplo, un libro de texto, para el hecho de que la bola n abierta y el n-símplex abierto son difeomorfos?

Answer 1

Si el simplex compacto es

$$\Delta_n = \{ (x_0,\cdots,x_n) : x_i \geq 0, x_0+x_1+\cdots+x_n=1\} \subset \mathbb R^{n+1}$$

entonces considere esta función $f : \Delta \to \mathbb R \cup \{\infty\}$ definido por

$$f(x_0,\cdots,x_n) = \frac{1}{x_0} + \cdots + \frac{1}{x_n}$$

Se trata de una función Morse propia en el interior de $\Delta_n$ y sólo hay un punto crítico en $(\frac{1}{n+1},\cdots,\frac{1}{n+1})$ , por lo que los teoremas estándar de la teoría de Morse le dan un difeo a la bola abierta.

Imagino que esto es lo suficientemente sencillo como para poder resolver las correspondientes EDOs de forma explícita y escribir el difeo en una forma cerrada, pero no me he puesto a ello.

Answer 2

Recomendaría echar un vistazo al libro de Brocker y Janich, que discute los difeomorfismos entre dominios en forma de estrella definiendo un flujo a lo largo de los rayos desde el punto de la estrella. Esto podría ser un ejercicio del libro, más que un teorema. (Creo que tengo el libro en mi escritorio en la escuela, y trataré de dar una referencia más precisa mañana).