Fuertes y débiles de la Integración de vector de valores de las funciones

Question

Esta es, probablemente, una elemental pregunta, pero fuera de mi área de especialización, y yo era incapaz de encontrar cualquier referencia adecuado:

Supongamos $f:X\to E$ es una función continua de un compacto de espacios (dotado con una probabilidad de medida de Borel $\mu$) a un localmente convexo, Hausdorff, completo espacio vectorial topológico. Queremos definir una razonable integral, es decir, $\int_Xfd\mu$. La pregunta es : cuando es exactamente lo que se necesita débil integrales (por ejemplo, la Gelfand-Pettis integral)? Hay una fuerte integral se llama la integral de Bochner que se define normalmente por $E$ un espacio de Banach; pero a mí me parece que su definición de las obras, al menos para los espacios de Frechet. Para un general localmente convexo, Hausdorff, completa TELEVISORES, cuando hace exactamente Bochner del enfoque, es decir, para definir un fuerte integral mediante la aproximación de $f$ con funciones simples (es decir, finito de valores de funciones medibles) no?

Answer 1

Hola.

Un problema con Bochner la integración es que no incluye Riemann-integración. Hay Banach-espacio con valores de R-integrable funciones que no son de la B-integrable (ejemplo: Considere el $X:=\mathcal{l}^p([0,1])$ con $2\leq p < \infty$ e $f:[0,1]\to X, f(t):=e_t$ donde $e_t$ es el tupel con exactamente iguales a 1 y todos los demás componentes igual a 0.). El Gelfand-Pettis Integral en el otro lado se incluye tanto el Bochner - y la de Riemann Integral.

Uno de los problemas con B-la integración es que necesita funciones que son casi separables de valoración (significado: hay un nullset cuyo complemento se ha separables de la imagen) con el fin de aproximarse a ellas con funciones simples, y esto puede ser una fuerte restricción. Otro problema es que para ciertas aplicaciones de las topologías débiles sólo se comportan mejor que los más fuertes, de modo que Pettis-la integración es el natural de la noción de integración en estos casos.

Answer 2

Anton la respuesta que me impulsó a sacar Rudin del Análisis Funcional. Ejercicio 23 del Capítulo 3 se presentan los Gelfand-Pettis integral de una función continua con valores en un Frechet espacio como un fuerte límite de sumas de Riemann" (se ve ligeramente más fuerte que la integral de Bochner, de hecho). Yo no podía hacer sentido de cómo utilizar la pista, así que me decidí a ver lo que me podía venir. Ha sido un largo tiempo desde que he hecho este tipo de cosas, así que me pueden haber hecho algo estúpido.

Vamos a asumir $X$ es compacto, $\mu$ es una probabilidad Borel medida, $f$ es continua, $E$ es localmente convexo y satisface el criterio para la existencia de Gelfand-Pettis integrales (cierre del casco convexo de la imagen es compacto). A continuación, $f(X)$ es compacto. Si suponemos que también el bien $E$ es un espacio métrico o $X$ es separable, entonces $f(X)$ es separable. Tomar una contables subconjunto denso $e_i$ de % de$f(X)$. Para un subconjunto finito $B$ de seminorms y $\epsilon>0$, vamos a $V(B,\epsilon,e_i)=\{e:p(e-e_i)<\epsilon\}$. Estos forman una base para la topología de $E$ (y son convexas y equilibrada).

En primer lugar, vamos a construir una secuencia de funciones simples que converge a $f$, imitando el ejemplo de teoría de la medida.

Desde $f(X)$ es compacto, podemos formar una tapa con un número finito de la $V(B,\epsilon,e_i)$, llamarlos $A_i$. Deje $E_i=A_i-\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j$. Set $X_i=f^{-1}(E_i)$, por lo que el $X_i$ son disjuntas partición de $X$.

Set $g_{B,\epsilon}(x)=\sum_i 1_{X_i}(x)e_i$ (donde $i$ rangos de más de un conjunto finito). Considere la posibilidad de $f(x)-g_{B,\epsilon}(x)$. Si $x\in X_i$, $f(x)\in E_i$, así que para todos los $p\in B$, $p\big(f(x)-g_{B,\epsilon}(x)\big)=p\big(f(x)-e_i\big)<\epsilon$. La convergencia es fácil a partir de este.

Ahora vamos a mostrar que el $\int_X g_{B,\epsilon}\ d\mu=\sum_i \mu(X_i)e_i$ converge. Podemos "engañar" al demostrar que converge a la Gelfand-Pettis integral de $f$ (en lugar de, por ejemplo, mostrando que es de Cauchy). Así que considere $$\int_X f\ d\mu- \int_X g_{B,\epsilon}\ d\mu=\int_X f- g_{B,\epsilon}\ d\mu=\sum_i\int_{E_i}f-e_i\ d\mu$$

En $E_i$, $f-e_i$ se encuentra en $V(B,\epsilon)$, lo $\int_{E_i}f-e_i\ d\mu$ es en el cierre de $\mu(E_i)\cdot V(B,\epsilon)\subset \overline{V(B,\epsilon)}$ (desde $V(B,\epsilon)$ es equilibrada) (esto utiliza la estimación de que el Gelfand-Pettis integral se encuentra en el cierre del casco convexo de la imagen, los tiempos de la medida del espacio). Por lo $\sum_i\int_{E_i}f-e_i\ d\mu\subset \sum_i \overline{V(B,\epsilon)}\subset \overline{\sum_i V(B,\epsilon)}$.

Por algunos básicos de los televisores de teoremas, desde $V(B,\epsilon)$ forma una base para la topología, podemos optar $V(B,\epsilon)$, de modo que $\overline{\sum_i V(B,\epsilon)}$ está dentro de cualquier barrio de $0$ (ver pág.10-11 de Rudin).

Así Bochner las integrales de funciones continuas existir siempre Gelfand-Pettis integrales existe (además de una separación de la asunción), a menos que cometí un error. Aunque lo dejé, no creo que yo solía separar de una forma esencial (que podría haber elegido un incontable subconjunto denso $e_i$ y procedieron). Que la necesidad de una sólida capacidad de medición (casi separadamente valorado) puede ser un artefacto de uso de secuencias en lugar de redes.