Decir $p$ es un polinomio de grado $k$ en $\mathbb C[x]$. A continuación, $p$ puede tener en la mayoría de $k$ distintas raíces. Un poco obtusa forma de estado, es decir, que entre cualquier conjunto de $k+1$ distintos números complejos, debe existir un valor de $a$ para que $p(a)\neq 0$.
Aquí la cuestión tiene que ver con la generalización de la anterior hecho a multivariante de polinomios.
Dado que algunos $p \in \mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$, resulta que cada vez que disponemos de los suficientes valores diferentes para elegir, siempre podemos escoger algunos de estos $a_1,\ldots,a_n$ a fin de dar a $p(a_1,\ldots,a_n)\neq 0$. Por otra parte, como a muchos es "suficiente" es una función sólo de $n$ y el grado de $p$.
Quiero enfatizar que, en el anterior y en lo que sigue, el $a_1,\ldots,a_n$ elegidos son distintos.
Para hacer las cosas más precisos y específicos, tenemos los siguientes.
Teorema. Deje $p \in \mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$ ser un polinomio de total grado $k$. Entonces cualquier conjunto de $n+k$ distintos números complejos contiene un subconjunto de $n$ que se pueden asignar a las variables de $x_1,\ldots,x_n$ a fin de dar un valor distinto de cero para $p$. (De nuevo, estamos hablando de la elección del conjunto de $n$ distintos valores que asignamos a $x_1,\ldots,x_n$.)
La prueba de lo anterior es un ejercicio difícil.
Pero la pregunta es:
Pregunta. En el teorema anterior, puede el $n+k$ ser reemplazado con alguna otra función de $n$ e $k$ el fin de dar una mejor cota superior?
De hecho, vamos a definir $M(n,k)$ a ser el menor entero positivo tal que para cada $p\in \mathbb C[x_1,\ldots,x_n]$ del total de grado $k$, cada conjunto de $S$ al menos $M(n,k)$ distintos números complejos contiene un subconjunto $\{a_1,\ldots,a_n\}$ (de cardinalidad $n$, por lo que estos son valores distintos) tales que $p(a_1,\ldots,a_n)\neq 0$.
El teorema anterior afirma que $M(n,k) \le n+k$, pero no la puedo ver incluso cómo conocer que obligado por $n=k=2$.