Cauchy residuo teorema nos dice que para que una función $$f(z) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a(k) z^k,$$ el coeficiente de $a(k)$ pueden ser extraídos por un integrante de la fórmula $$a(k) = \frac{1}{2\pi i}\oint f(z) z^{-k-1},$$ con un contorno alrededor de cero. Ahora, no hay nada que nos impida pensar de $a\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ como una función del complejo de dominio, que se define por la integral anterior. De esta manera, tenemos de forma natural ", continuó" la función de $a(k)$ más de los enteros a uno más de los números complejos. ¿Hay algún sentido a esto más allá de simplemente algo divertido?
Por ejemplo, considere la posibilidad de $f(z)=\exp(z)$. En este caso, $a(k)=1/k!$ que uno pensaría que siguió a $1/\Gamma(1+k)$. Pero al menos si se intenta graficar lo que sucede arriba, este no es el caso. Tenemos una función de Bessel-como oscilaciones (azul) que, no obstante, coincide con $1/\Gamma(1+k)$ (naranja) en la integral de puntos!
Se puede experimentar con otras opciones de $f(z)$. Cuando $f(z)=(z+1)^n$, parece que la continuidad en realidad coincide con lo que piensan naturalmente (la función Beta). Que es realmente muy extraño. Por ejemplo, para $n=5$ e $f(z) = 1 + 5 z + 10 z^2 + 10 z^3 + 5 z^4 + z^5$, ¿cómo se realiza este cálculo "aprender" que la secuencia de $1,5,10,10,5,1$ realmente corresponde a los coeficientes binomiales y por lo tanto debe ser continuado a la función Beta? Si nos perturban uno de los coeficientes, dicen que el cambio $5 z^4$ a $2 z^4$, el resultado sería como un "perturbado" función Beta (azul de abajo vs la función Beta en naranja).
Cualquier explicación (o referencias en la literatura) de lo que está pasando aquí?
