¿Cuál es la probabilidad máxima de la asociatividad de triples en una no asociativo bucle?

Question

En un número finito de nonabelian grupo, la probabilidad de que dos elegidos al azar de los elementos de conmutar no puede exceder de 5/8. Una sencilla prueba también hace que sea fácil encontrar el más pequeño de los grupos que alcanzan esta obligado, a saber, los dos nonabelian grupos de orden 8:

• El 5/8 teorema.

Esto me hace preguntarme: ¿cómo de grandes pueden la probabilidad de que los tres elegidos al azar de los elementos de $a,b,c$ de un número finito no asociativo bucle asociado, es decir, obedecer $(ab)c = a(bc)$?

Usted puede probar el 5/8 teorema de los grupos por separado por decantación dos preguntas:

• ¿Cuál es la mayor fracción posible de elementos de un no conmutativa finito grupo que se encuentran en el centro? (Respuesta: 1/4)

• Dado un noncentral elemento de un grupo finito, ¿cuál es la mayor fracción posible de los elementos que se desplazan con ella? (Respuesta: 1/2)

El nonabelian grupos de la orden de 8 de lograr estos dos límites superiores. Se puede intentar una estrategia similar para mi pregunta, tratando de resolver estos:

• ¿Cuál es la mayor fracción posible de elementos $a$ en un bucle finito tal que $(ab)c = a(bc)$ para todos los elementos de la $b,c$?

• Si un elemento $a$ de un número finito de bucle no tiene $(ab)c = a(bc)$ para todos los elementos de la $b,c$, ¿cuál es la mayor fracción posible de elementos $b$ tal que $(ab)c = a(bc)$ para todos los $c$?

• Si en un par $a,b$ no ha $(ab)c = a(bc)$ para todos los elementos de la $c$, ¿cuál es la mayor fracción posible de elementos $c$ tal que $(ab)c = a(bc)$?

Lamentablemente no sé cómo resolver estos.

Desde el quaternion 8-grupo de $$Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$$ attains the 5/8 bound for commutativity of pairs in a nonabelian group, one might hope that the octonion 16-loop $$O_{16} = \{\pm 1, \pm e_1, \dots, \pm e_7\}$$ alcanza el máximo de probabilidad de la asociatividad de triples en una no asociativo de bucle. ¿No es así?

Me temo que ni siquiera he trabajado la probabilidad de que un triple en $O_{16}$ associates, aunque sería fácil de hacer.

Answer 1

He encontrado el siguiente ejemplo, debido a la J. Jezek y T. Kepka de "Notas sobre el número asociativo de triples" Acta Universitatis Carolinae 31 (1990), de 15 a 19 años (Ejemplo 2.1):

Supongamos $Q(+)$ es un grupo abelian incluso de orden $n\geq 6$. Deje $a,b\in Q-\{0\}$ ser dos elementos distintos con $2a=0$. Definir una nueva operación $Q$ por $xy=x+y$ siempre y cuando cualquiera de $x\notin \{b,a+b\}$ o $y\notin \{b,a+b\}$, e $bb=(a+b)(a+b)=2b+a$ junto con $b(a+b)=(a+b)b=2b$.

A continuación, $Q(\cdot)$ es un conmutativa bucle con exactamente $n^3-16n+64$ asociativa triples.

Por lo tanto, la probabilidad de que los tres elegidos al azar de los elementos de asociado puede ser arbitrariamente cerca de 1.

Answer 2

Esto es un poco demasiado largo para un comentario, así que es una respuesta. Los Bucles de paquete de la Brecha, por Gabor Nagy y Petr Vojtechovsky contiene implementaciones de todos los no asociativo lazos de Moufang de orden $\leq 64$ y de orden igual a $81$ o $243$. Así que escribí una brecha de secuencia de comandos para calcular la asociación de probabilidades de triples de los elementos. He hecho tan simple como sea posible para reducir la posibilidad de errores, y porque nunca había escrito nada en la Brecha de antes.

Ninguno de los de la asociación de probabilidades superado $\frac{43}{64}$, la asociación de probabilidad para el octonion bucle, por lo que la conjetura es correcta para estos lazos de Moufang (la secuencia de comandos se tarda una media hora en mi portátil).

Dado que el paquete también tiene algunas Bol bucles, lo comprobé, y la izquierda Bol bucle de orden 8 con la siguiente tabla de Cayley tiene la asociación de probabilidad $\frac{13}{16} = \frac{52}{64} > \frac{43}{64}$:

  1 2 3 4 5 6 7 8
  ---------------
1|1 2 3 4 5 6 7 8
2|2 1 4 3 7 8 5 6
3|3 4 1 2 6 5 8 7
4|4 3 2 1 8 7 6 5
5|5 6 7 8 1 2 3 4
6|6 8 5 7 3 1 4 2
7|7 5 8 6 2 4 1 3
8|8 7 6 5 4 3 2 1

y muchos de la izquierda Bol los bucles de la orden de 16 de tener también la asociación de probabilidades de exceder $\frac{43}{64}$. Por lo tanto, si la conjetura es correcta para lazos de Moufang, la prueba debe utilizar un argumento que falla por la izquierda Bol de bucles.