Deje $(T,X)$ ser un sistema dinámico discreto. Con esto quiero decir que $X$ es un compacto Hausdorff espacio y $T: X \to X$ un homeomorphism.
Por ejemplo, tome $X$ a ser el espacio de secuencia $2^{\mathbb{Z}}$ e $T$ el cambio de Bernoulli. A continuación, hay un denso conjunto de periódico puntos, y no hay otro (discontinuo) denso conjunto de puntos cuyas órbitas son densas en vista de la transitividad topológica). Sin embargo, también hay puntos de $X$ que pertenecen a ninguno de estos conjuntos---por ejemplo, la secuencia de $(\dots, 1, 1, 1, 0, 0, 0, \dots )$.
Esto me llevó a la siguiente:
Pregunta: ¿hay un sistema dinámico discreto, $(T,X)$ tal que cada punto tiene un número finito o un denso órbita? (Cf. el de abajo advertencias.)
Hay un par de advertencias para agregar. En primer lugar, queremos que tanto la periodicidad y la transitividad topológica ocurra; las normas de ejemplos como el de las rotaciones del círculo (donde cada punto es del mismo tipo, ya sea periódica o con una densa órbita). Segundo, vamos a suponer que no hay puntos aislados.
He estado pensando acerca de esta cuestión de un par de días, y los ejemplos básicos de los sistemas dinámicos que he aprendido (cambio de espacios, toral endomorphisms, etc.) no parecen satisfacer esta condición, y de manera intuitiva se siente como la compacidad condición implica que hay puntos que son "casi periódicos", pero no, como el $(\dots, 1, 1, 1, 0, 0,0, \dots)$ ejemplo citado anteriormente. Sin embargo, no veo cómo probar esto.
