¿Cuáles son las aplicaciones de la Atiyah-Bott Yang Molinos de papel?

Question

Recientemente he terminado un seminario de ir a través de Atiyah y Bott en papel de "El Yang-Mills Ecuaciones sobre las superficies de Riemann". Las ideas van en la prueba fueron sorprendentes y muy bonita para mí.

Sin embargo, más allá de su prueba de la belleza, estoy teniendo problemas para ver el uso de lo que acabo de leer. Por ejemplo, como yo lo entiendo el principal resultado de este trabajo es inductivo fórmula para el cohomology del espacio $\mathcal{C}(n,k)$ (el holomorphic vector de paquetes de rango $n$ y la clase de Chern $k$ más de superficie de Riemann $M$). Esto hace que lo que el $\mathcal{C}$ parecen un poco más claro para mí, pero he escuchado que si $g(M)\ne 0,1$ no muy explícita de la $\mathcal{C}$ son conocidos, por lo que la aplicación sólo puedo pensar (ayudando a obtener una descripción explícita de las $\mathcal{C}$) parece que no ha trabajado todavía.

Que ingenuos tren de pensamiento me lleva a preguntar:

Lo posterior de las matemáticas se ha utilizado en gran medida los resultados de la Atiyah-Bott de papel? O, más petulantly, ¿cuál es el punto de la resultado?

(Sé que hubo mucha actividad en el Yang-Mills ideas que aparecen en la prueba por Donaldson, etc., pero estoy preguntando sobre más aplicaciones directas frente a algo así.)

Answer 1

Se observó que la algebraicas concepto de estabilidad es equivalente con la analítica del concepto de Yang-Mills conexión. Esto tiene un variacional caracterización de la apertura de la puerta para el uso de Morse de la teoría. En particular, se utiliza topológica de los métodos para resolver un algebraic0geometric problema.

Un poco más tarde, Donaldson demostrado un resultado similar indicando que en superficies algebraicas el concepto de estable paquete es equivalente con el concepto de instanton. Entonces utilizó algebraica de los métodos geométricos para resolver un problema topológico, en el cálculo de invariantes de Donaldson para ciertas superficies algebraicas.

Si abre el libro de Donaldson en instantons y 4-colector verá la intensidad con la que él fue influenciado por el set-up en Atiyah y Bott de papel.

Por lo que la contribución de Atiyah-Bott papel es doble: resolver una expresión algebraica problema geométrico y se introdujo este nuevo punto de vista que resultó ser muy fértil.

Answer 2

Hitchin 1987 extendió el trabajo de Atiyah-Bott para el estudio de la topología del espacio de moduli de Higgs bultos en $\Sigma$ a través de la de Yang-Mills funcional. Simpson 1988 demostrado que este espacio de moduli de acuerdo con el carácter de la variedad de representaciones de $\pi_1\Sigma$ a $SL(n,{\mathbb C})$. Lateron este enfoque fue generalizada para estudiar el espacio de moduli de representaciones de $\pi_1\Sigma$ a un reductor de la Mentira de grupo.

Answer 3

Con 562 citas en Mathscinet, es difícil resumir todas las aplicaciones de este influyente papel! Uno importante fue la extensión de la Atiyah-Bott resultados para el ajuste parabólico de paquetes y también para paquetes de más de 2 dimensiones orbifolds. Este último, junto con los cálculos de Fintushel y la Popa, permite calcular la Instanton Floer homología de Brieskorn homología de las esferas. Estos son Seifert-fibrado espacios con 3 o más fibras; una vez que usted recibe hasta 5 fibras que usted necesita para calcular la homología del espacio de SU(2) las declaraciones de algunos de 2 dimensiones orbifolds.

Yo no subestimar la influencia más amplia; el uso de equivariant de la teoría de Morse para uno, y también de las muchas ideas que se utiliza en Donaldson trabajo en 4-colector de invariantes.