¿Integral de Bochner del proceso estocástico = integral de Lebesgue camino a camino?

Question

Después de algunos comentarios útiles, me di cuenta de que tenía que volver a plantear esta pregunta de una manera más sistemática.

En un espacio de probabilidad completo, sea $\mathcal{H}_0$ denotan el espacio de Hilbert de las variables aleatorias cuadradas integrables con media cero. Un proceso estocástico $X$ se llama proceso de segundo orden si $\mathbf{E}X(t)^2 < \infty$ y $\mathbf{E}X(t) = 0$ , todos $t \in [0,T]$ . Este proceso puede considerarse como un mapa $[0,T] \rightarrow \mathcal{H}_0$ . Se llama q.m. continuo si este mapa es continuo, es decir $X(s) \rightarrow X(t)$ en media cuadrática como $s \rightarrow t$ . Se puede demostrar que cada proceso continuo q.m. tiene una versión medible.

Dejemos que $X$ sea un proceso continuo de segundo orden q.m. Queremos calcular la integral $\int_0^T X(s) \mathrm{d} s$ . Hay dos maneras.

Bochner integral. Claramente, $X$ considerado como un mapa continuo $[0,T] \rightarrow \mathcal{H}_0$ es integrable de Bochner. Denotamos su integral de Bochner por \begin{equation} \text{(B-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s. \end{equation}

Integral de Lebesgue. Podemos suponer que $X$ considerado como un mapa $[0,T] \times \Omega \rightarrow \mathrm{R}$ es medible. Por lo tanto, para un $\omega$ la integral $\int_0^T X(s,\omega) \mathrm{d} s$ existe como una integral de Lebesgue, y denotamos la variable aleatoria así construida por \begin{equation} \text{(L-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s. \end{equation}

Pregunta. ¿Tenemos \begin{equation} \text{(B-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s = \text{(L-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s \quad \text{a.s.?} \end{equation}

Ideas. Dejemos que $\lbrace t^n = t_0^n, \ldots t_{k_n}^n \rbrace$ sea una secuencia de particiones de $[0,T]$ con la malla que va a cero. Definir las funciones simples \begin{equation} \xi_n = X(t_0^n)1[t_0^n,t_1^n] + \sum_{i=1}^{k_n-1} X(t_i^n) 1[t_i^n, t_{i+1}^n). \end{equation} Entonces se puede demostrar que para casi cualquier $t$ tenemos $\xi_n(t) \rightarrow X(t)$ en $\mathcal{H}_0$ y \begin{equation} \int_0^T \xi_n(s) \mathrm{d}s \rightarrow \text{(B-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s \quad \text{in $\mathcal{H}_0$}, \end{equation} donde la integral de la izquierda está definida de forma obvia (omitimos (B-)) (para demostrarlo, se utiliza el hecho de que la función de covarianza $r(s,t) = \mathbf{E}X(s)X(t)$ de un proceso continuo q.m. es continuo). Después de cambiar a una subsecuencia si es necesario, podemos suponer que \begin{equation} \int_0^T \xi_n(s) \mathrm{d}s \rightarrow \text{(B-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s \quad \text{$\mathbf{P}$-a.s.}, \end{equation} Ahora, nos gustaría tener eso también \begin{equation} \int_0^T \xi_n(s) \mathrm{d}s \rightarrow \text{(L-)}\int_0^T X(s) \mathrm{d}s \quad \text{$\mathbf{P}$-a.s.}, \end{equation} Pero esto es complicado. Las sumas de la izquierda son sumas de Riemann, es decir \begin{equation} \int_0^T \xi_n(s) \mathrm{d}s = \sum_{i=0}^{k_n-1} X(t_i^n)(t_{i+1}^n - t_i^n ). \end{equation} Así que si supiéramos que los caminos de $X$ son a.s. integrables de Riemann, habríamos terminado. Pero esto no está claro. También intenté usar algunos argumentos de aproximación, pero no pude hacerlo. Parece que hay que deducir algún tipo de regularidad del camino de $X$ a partir de la suposición de continuidad q.m., pero no conozco ningún resultado en esta dirección.

Answer 1

Sí, la integral de Bochner coincide con la integral de Lebesgue de las trayectorias muestrales del proceso. Podemos demostrarlo en una situación algo más general que la planteada en la pregunta.

Para un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , dejemos que $X\colon[0,T]\to L^p(\mathbb{P})$ ( $1\le p\le\infty$ ) sea integrable de Bochner respecto a la medida de Lebesgue en $[0,T]$ y también se puede medir conjuntamente como un mapa $(t,\omega)\mapsto X(t)(\omega)$ de $[0,T]\times\Omega$ a $\mathbb{R}$ . Entonces, la integral de Bocher $\int_0^T X(t)\,dt$ concuerda con la integral de Lebesgue por trayectoria $\int_0^TX(t)(\omega)\,dt$ para casi todos los $\omega$ .

En primer lugar, esta afirmación es claramente válida para las funciones simples, que son combinaciones lineales finitas de términos de la forma $X(t)(\omega)=1_{\lbrace t\in A\rbrace}1_{\lbrace\omega\in B\rbrace}$ , para $A$ un subconjunto de Borel de $[0,T]$ y $B$ en $\mathcal{F}$ . Ahora, por definición, si $X$ es integrable por Bochner entonces, para cada $n\ge1$ Hay un simple $\xi_n$ tal que $$ \int_0^T\lVert X(t)-\xi_n(t)\rVert_p\,dt\le2^{-n}. $$ La integral de Bochner viene dada por $$ \int_0^T\xi_n(t)\,dt \rightarrow\text{(B-)}\int_0^T X(t)\,dt. $$ Aquí el límite se toma en el $L^p$ y, por tanto, también es válida la convergencia en probabilidad.

Utilizando la integración de Lebesgue a lo largo de las trayectorias de muestra de $X$ ahora, podemos utilizar el teorema de Fubini para conmutar los signos de expectativa, integración y suma. $$ \begin{align} \mathbb{E}\left[\int_0^T\sum_{n=1}^\infty\left\lvert X(t)-\xi_n(t)\right\rvert\,dt\right] &=\sum_{n=1}^\infty\int_0^T\mathbb{E}\left[\lvert X(t)-\xi_n(t)\rvert\right]\,dt\cr &\le\sum_{n=1}^\infty\int_0^T\left\lVert X(t)-\xi_n(t)\right\rVert_p\,dt\cr &\le\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1 < \infty. \end{align} $$ En particular, $$ \int_0^T\sum_{n=1}^\infty\left\lvert X(t)-\xi_n(t)\right\rvert\,dt < \infty $$ con probabilidad uno. Mirando cualquier camino de la muestra para que esto es finito, $\lvert X(t)-\xi_n(t)\rvert\to0$ como $n\to\infty$ para Lebesgue casi todos los $t$ . También, $\lvert X(t)-\xi_n(t)\rvert$ está dominado por su suma sobre $n$ . Por lo tanto, se aplica la convergencia dominada, $$ \int_0^T\xi_n(t)\,dt\rightarrow\textrm{(L-)}\int_0^T X(t)\,dt. $$ Esto es válido para casi todas las trayectorias de muestra de $X$ por lo que el límite se mantiene en probabilidad. Por tanto, la integral de Lebesgue en las trayectorias muestrales coincide con la integral de Bochner.