Mientras que jugando con algunos de generación de funciones relacionadas con la enumeración de regular bipartita de los gráficos, me topé con la siguiente chica. Me pregunto si alguien lo ha visto antes, y/o si alguien ve una buena interpretación. La suma es sobre todos, simple grafos bipartitos $G$ con $n$ vértices en cada lado, el producto es superior a todas las $2n$ vértices $v$ de % de $G$ e $d_G(v)$ es el grado de vértice $v$ en el gráfico $G$. $$\sum_{G\subseteq K_{n,n}} ~ \prod_{v\in V(G)} (n-2d_G(v)) = 2^{n^2}n!~.\kern 3cm (1)$$
Además de la 1 de la prueba. Considere la posibilidad de $n^2$ desplazamientos indeterminates $\{x_{ij}\}_{i,j=1\ldots n}$. El polinomio $$P(\boldsymbol{x}) = \prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_{i,j} \times \prod_{j=1}^n \sum_{i=1}^n x_{i,j}.$$ tiene términos con cada variable de poder tener 0, 1 o 2. Considera el total coeficiente de $C~$ de los términos con sólo poderes. Una forma es la suma de cada variable sobre la $\pm 1$, lo que hace que los términos no queremos cancelar y los otros multiplicado por $2^{n^2}$. Esto le da (1), la interpretación de $G$ como el bipartito grafo cuyas aristas son las variables con valor de $-1$. Alternativamente, tenga en cuenta que cada término tiene un total de grado $2n$ y la única manera posible de dicho término, incluso con grados es $\prod_{i=1}^n x_{i,\sigma(i)}^2$ para algunos de permutación $\sigma$. Esta muestra $C=n!~$.
2, la generalización. Definir los números $$\rho(n,k,d) = \sum_{j\ge 0} (-1)^j \binom{d}{j} \binom{n-d}{k-j}.$$ Deje $k_1,\ldots,k_{2n}$ ser una secuencia de números enteros no negativos. Entonces $$\sum_{G\subseteq K_{n,n}} ~ \prod_{v\V(G)} \rho(n,k_v,d_G(v)) = 2^{n^2} B(\boldsymbol{k}), $$ donde $B(\boldsymbol{k})$ es el número de simple bipartito gráficos con vértice $v$ tienen grado $k_v$ para todos los $v$. El caso (1) se sigue de $\rho(n,1,d)=n-2d$. La prueba del caso general es similar.
