No hay tal constante universal de $\epsilon > 0$. Trabajar con el complejo espacio de Hilbert $L^2[0,1]$ (que por supuesto es también un verdadero espacio de Hilbert). Fix $n \in \mathbb{N}$.
Deje $\Gamma_0$ el conjunto de continua a trozos el aumento lineal bijections de $[0,1]$ a sí mismo. [1] es un grupo con la composición del producto. [2] los actos isometrías de $L^2[0,1]$ por el mapa $f \mapsto \sqrt{\phi'}\cdot (f\circ\phi)$ para $f \in L^2[0,1]$ e $\phi \in \Gamma_0$. También vamos a $\Gamma_1 \subset L^\infty[0,1]$ consisten en la medibles funciones de $[0,1]$ a $\mathbb{T}_n = \{e^{2\pi i k/n}: 0 \leq k < n\}$, la identificación de las funciones que difieren en un conjunto null. Este es un grupo en pointwise producto y [3] actúa isométricamente por multiplicación en $L^2[0,1]$. Deje $\Gamma$ el grupo de isometrías de $L^2[0,1]$ generado por $\Gamma_0$ e $\Gamma_1$ en estas acciones. ([4] Este es un semidirect producto de $\Gamma_0$ e $\Gamma_1$.)
[5] El $\Gamma_0$ acción toma el vector unitario $1_{[0,1]}$ para cualquier constante a trozos estrictamente positivo vector unitario $f \in L^2[0,1]$. (Si $f$ toma el valor de $c$ en un intervalo de $I$, vamos a $\phi$ tiene pendiente $c^2$ en este intervalo.) [6] Estas funciones son densos en la parte positiva de la unidad de la esfera. [7] la Aplicación de la acción de la $\Gamma_1$ , a continuación, nos hace arbitrariamente cerca de cualquier vector unitario en $L^2[0,1]$ cuyo argumento se encuentra en casi todas partes en $\mathbb{T}_n$. [8] Se deduce que la distancia de $1_{[0,1]}$ a cualquier otra órbita es en la mayoría de las $\alpha = |1 - e^{\pi i/n}|$ ($\approx \frac{\pi}{n}$ grandes $n$). [9] Es de la siguiente manera inequívoca que el mismo es cierto para cualquier vector unitario en lugar de $1_{[0,1]}$, y, a continuación, [10] que la distancia entre dos órbitas es en la mayoría de las $2\alpha$.
[11] Por otro lado, la distancia de la órbita de $1_{[0,1]}$ a el vector $e^{\pi i/n}\cdot 1_{[0,1]}$ es al menos la distancia de $(1,0) \in \mathbb{R}^2$ a la línea a través del origen de la pendiente $\frac{\pi}{n}$ (aproximadamente $\frac{\pi}{n}$ grandes $n$), por lo que esta órbita no es densa y dado que la acción es isométrico de la órbita no es denso.
Edit: tal vez la gente quiere más detalles.
[1] La composición de dos funciones continuas es continua, de dos PL funciones PL, de dos funciones crecientes va en aumento, de dos bijections es un bijection. La inversa de una continua PL aumento de bijection es un continuo PL aumento de bijection.
[2] $\|\sqrt{\phi'}\cdot (f\circ \phi)\|_2^2 = \int_0^1 \phi'|f\circ\phi|^2\, dt = \int_0^1 |f|^2\, dt = \|f\|_2^2$.
[3] Si $h \in \Gamma_1$ entonces $\|hf\|_2^2 = \int_0^1 |hf|^2\, dt = \int_0^1 |f|^2\, dt = \|f\|_2^2$ desde $|h| = 1$ a.e.
[4] Esto no es necesario, pero de todos modos si $\phi \in \Gamma_0$ e $h \in \Gamma_1$ entonces $\sqrt{\phi'}\cdot (hf\circ \phi) = (h\circ \phi)\cdot \sqrt{\phi'}\cdot(f\circ\phi)$.
[5] Vamos a $f$ ser una constante a trozos estrictamente positivo vector unitario en $L^2[0,1]$. A continuación, $f = a_0\cdot 1_{[0,t_1)} + \cdots + a_k\cdot 1_{[t_k,1)}$ a.e. para algunos $0 < t_1 < \cdots < t_k < 1$ y algunos $a_0, \ldots, a_k > 0$. La unidad de la norma condición significa que $\sum_{i=1}^k a_i^2(t_{i+1} - t_i) = 1$. Ahora defina $\phi: [0,1] \to \mathbb{R}$ , de modo que $\phi(0) = 0$, $\phi$ es continua, y $\phi$ es lineal con pendiente $a_i^2$ a $[t_{i-1},t_i]$. La unidad de la norma condición justo detallado muestra que $\phi(1) = 1$, es decir, $\phi$ es un continuo PL aumento de bijection. Tenemos $\sqrt{\phi'}\cdot (1_{[0,1]}\circ \phi) = \sqrt{\phi'}$, que toma el valor de $a_i$ constantemente en $(t_{i-1},t_i)$. Por lo $1_{[0,1]}$ es llevado a $f$.
[6] en Primer lugar, positiva constante a trozos funciones uniformemente aproximar cualquier función continua en $[0,1]$, y desde el positivo de funciones continuas son densos de la $L^2$ norma en la parte positiva de $L^2[0,1]$, esto demuestra que la positiva constante a trozos funciones son densos en la parte positiva de $L^2[0,1]$. Dado un positivo $f \in L^2[0,1]$ con la unidad de la norma, encontrar una secuencia $(f_k)$ de positivos constante a trozos funciones con $f_k \to f$ en $L^2[0,1]$. A continuación, $\|f_k\|_2 \to 1$ lo $\frac{1}{\|f_k\|_2}f_k \to f$. Por lo tanto, cualquier vector unitario es aproximada por positiva constante a trozos de la unidad de vectores.
[7] Desde multiplicando por $h \in \Gamma_1$ es una isometría, si $f = h|f| \in L^2[0,1]$ es un vector unitario cuya argumento de $h$ se encuentra en $\mathbb{T}_n$ a.e. y $g$ es positivo constante a trozos vector unitario que está cerca de a $|f|$, a continuación, $hg$ va a ser igual de cerca a $f$.
[8] Dado cualquier vector unitario $f = h|f| \in L^2[0,1]$, podemos encontrar $\tilde{h} \in \Gamma_1$ tal que $|h(t) - \tilde{h}(t)| \leq \alpha$ a.e. Como ya hemos visto que la órbita de $1_{[0,1]}$ viene arbitrariamente cerca de $\tilde{h}|f|$, se deduce que la distancia de $f$ a esta órbita es en la mayoría de las $\|f - \tilde{h}|f|\|_2 = \|(h - \tilde{h})|f|\|_2 \leq \alpha \|f\|_2 = \alpha$.
[9] Hemos visto ya que cualquier vector unitario $f$ se aproxima por elementos de la órbita de $1_{[0,1]}$. Ya que la acción es isométrica, esto significa que $1_{[0,1]}$ se aproxima por elementos de la órbita de $f$. De nuevo por isométrica de acción, ya que podemos tomar $1_{[0,1]}$ a en $\alpha'$ de cualquier vector unitario, para cualquier $\alpha' > \alpha$, la misma es entonces verdadera de $f$.
[10] Cualquiera de los dos vectores unitarios se encuentran dentro de $\alpha'$ de la órbita de $1_{[0,1]}$, para cualquier $\alpha' > \alpha$. Así que (por acción isométrica de nuevo) uno se encuentra dentro de $2\alpha'$ de la órbita de la otra.
[11] El argumento de cualquier vector $f$ en la órbita de $1_{[0,1]}$ se encuentra pointwise una.e. en $\mathbb{T}_n$. Por lo $|f(t) - e^{\pi i/n}| \geq \beta$ pointwise, donde $\beta$ es la distancia desde $(1,0) \in \mathbb{R}^2$ a la línea a través del origen de la pendiente $\frac{\pi}{n}$ (= la distancia desde $e^{\pi i/n} \in \mathbb{C}$ a la unión de las líneas a través de el origen de las laderas $\frac{2k\pi}{n}$). Por lo tanto $\|f - e^{\pi i/n}\cdot 1_{[0,1]}\|_2 \geq \beta$.
