Límite de una función inversa

Question

Sea $f:\mathbb R\to \mathbb R$ una función invertible tal que $$\lim_{x\to a} f(x)=b$$

para ciertos $a,b\in \mathbb R$.

¿Se sigue entonces que $$\lim_{x\to b}f^{-1}(x)= a,$$

donde $f^{-1}$ denota la función inversa de $f$?

Edit: Cuando considero la definición del límite $\epsilon,\delta$, siento que debería haber un ejemplo en el que $\lim_{x\to b}f^{-1}(x)\neq a$ debido a que la definición $\epsilon,\delta$ no es simétrica (dado un $\epsilon>0$, encontramos un $\delta>0$ tal que ....).

Sin embargo, si asumimos además que $f$ es cont., $$b=\lim_{x\to b}x=\lim_{x\to b}f\circ f^{-1}(x)=f(\lim_{x\to b} f^{-1}(x)).$$ Se sigue que $\lim_{x\to b} f^{-1}(x)=f^{-1}(b)=a$. Por lo tanto, se necesita una función discontinua para tener un contraejemplo. Me pregunto si hay alguna función simple con esta propiedad.

La respuesta de @Floris Claassens muestra que hay algunas "funciones feas" con esta propiedad.

Answer 1

Un contraejemplo con $a=b=0$ y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$

Sea $(b_n)_{n\in \Bbb N}$ una sucesión real estrictamente decreciente con $b_1=1/2$ y con $\lim_{n\to \infty}b_n=0.$

Para $x\le 0$ sea $f(x)=x.$

Para $n\in \Bbb N$ permita que f mapee $(b_{n+1},b_n]$ biyectivamente en $(b_{n+1},b_n).$ Y permita que $f(n)=b_n.$

Permita que $f$ mapee $(b_1,\infty)\setminus \Bbb N$ biyectivamente en $(b_1,\infty).$

Entonces $f:\Bbb R\to \Bbb R$ es una biyección, y $\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0).$

Pero $(b_n)_{n\in \Bbb N}$ converge a $0$ mientras que $f^{-1} (b_n)=n, $ entonces $f^{-1}(x)$ no converge cuando $x\to 0.$

Answer 2

Si $x=a$, considere la secuencia $(a_{n})=(a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n})_{n\geq 1}$ y la secuencia $(b_{n})(b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n})_{n\geq1}$. Definimos $f$ de la siguiente manera $$f(x)=\begin{cases}b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n-1}&\text{ si }x=a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n},\ n>0.\\ b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n}&\text{ si }x=b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n},\ n>0.\\2b-a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n}&\text{ si }x=b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n-1},\ n>0.\\x+b-a&\text{ otro caso}.\end{cases}$$ Note que $f$ está bien definido ya que para todo $m,n\in\mathbb{N}$ tenemos \begin{align*}|a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{m}-b-\frac{b-a}{2}\frac{1}{n}|&=|a-b+\frac{b-a}{2}\frac{n-m}{mn}|\geq|a-b|-|\frac{a-b}{2}||\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|\\&\geq|a-b|-\frac{1}{2}|a-b|>0\end{align*} Usando argumentos similares encontramos que $$f^{-1}(x)=\begin{cases}a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n}&\text{ si }x=b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n-1},\ n>0.\\b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n} &\text{ si }x=b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n},\ n>0.\\b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n-1}&\text{ si }x=2b-a+\frac{b-a}{2}\frac{1}{n},\ n>0.\\x+a-b&\text{ otro caso}.\end{cases}$$ está bien definido, y evidentemente $f^{-1}$ es la inversa de $f$. Así que $f$ es biyectiva.

Ahora tome $\varepsilon>0$ y tome $\delta=\min(\varepsilon,\frac{b-a}{2})$. Para todo $x\in\mathbb{R}$ con $|x-a|<\delta$ tenemos $|f(x)-f(a)|\leq|x+b-a-b|=|x-a|<\varepsilon$. Entonces $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$.

Además, note que $\lim_{n\rightarrow\infty}f^{-1}(b+\frac{b-a}{2}\frac{1}{2n})=b\neq a$, así que $\lim_{x\rightarrow b}f^{-1}(x)\neq a$.

Para $a=b$ realmente se puede (contrariamente a mi afirmación anterior) definir una función similar. Definimos $$f(x)=\begin{cases}a+\frac{1}{2n}&\text{ si }x=a+\frac{1}{n},\ n>0.\\a+\frac{1}{2n-1}&\text{ si }x=a+2+\frac{1}{2n-1},\ n>0.\\a+2+\frac{1}{n}&\text{ si }x=a+2+\frac{1}{2n},\ n>0.\\x&\text{ otro caso}.\end{cases}$$ Usando argumentos similares encontramos que $f$ es biyectiva $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=a$, pero $\lim_{n\rightarrow \infty}f^{-1}(a+\frac{1}{2n-1})=a+2\neq a$.