Pregunta en números enteros consecutivos con similar primer factorizations

Question

Supongamos que $n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{e_i}$ e $m=\prod_{i=1}^{l} q_i^{f_i}$ son de primer factorizations de dos enteros positivos $n$ e $m$, con los números primos permutada por lo que el $e_1 \le e_2 \cdots \le e_k$, e $f_1 \le f_2 \le \cdots \le f_l$. Entonces si $k=l$ e $e_i=f_i$ para todos los $i$, podemos decir que el $n$ e $m$ son factorially equivalente. En otras palabras, dos enteros son factorially equivalente, si su primer firmas son idénticas. En particular, $d(n)=d(m)$ si los dos son factorially equivalente.

Hay una pregunta que he tenido por mucho tiempo, que es: ¿hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $n$ es factorially equivalente a $n+1$? Hay numerosos curiosos pares de enteros consecutivos para que este tiene: $(2,3)$, $(14,15)$, $(21,22)$, $(33,34)$, $(34,35)$, $(38,39)$, $(44,45)$, así como $(98,99)$, y muchos más. Como se puede ver, muchos de ellos son casi primos, pero los dos últimos pares son bastante llamativos. A pesar de que hay muchos de ellos, una prueba de que hay infinitamente muchos de estos pares parece difícil de alcanzar. Alguien ha hecho ningún progreso en (o incluso le pidió a) tal pregunta? ¿Alguien aquí tiene una solución o de progreso para esto?

Edit: Como un bono adicional, el $k$th tal $n$, como una función de la $k$, parece casi lineal. Sería interesante para expresar y demostrar una fórmula asintótica para esto. ¿Alguien puede adivinar de forma heurística lo que la pendiente de esta línea es?

Lo voy a agregar, a pesar de que me gustaría mantener mi pregunta se centraba en lo anterior, es que hay muchas otras preguntas que usted puede preguntar: ¿cuántos números enteros $n$ están allí, que $n$ es factorially equivalente a $n^2+1$ o $n^4+5n+3$ o $2^n+1$? Se puede generar una casi interminable lista de aparentemente uncrackable número de la teoría de las conjeturas de esta manera.

Muchas de estas preguntas que parecen relacionarse con otras conocidas número teórico de conjeturas. El Gemelo Primer Conjetura implicaría que hay una infinidad de $n$ tal que $n$ es factorially equivalente a $n+2$. La verdad de mi pregunta anterior implicaría que hay una infinidad de $n$ tal que $d(n)=d(n+1)$, un resultado que ha sido probada, por lo que mi conjetura es un fortalecimiento de la misma. Además, la prueba de la infinitud de los números primos de Mersenne prueba de la infinitud de $n$ factorially equivalente a $2^n-1$. Pero más allá de todas estas conexiones a la bien conocida conjeturas, creo que la pregunta acerca de y sus generalizaciones son estéticamente interesante.

Answer 1

Estoy entrando en esta tarde, pero me pregunto por qué nadie parece haber mencionado los resultados de Goldston, Graham, Pintz y Yildirim:

http://arxiv.org/pdf/0803.2636.pdf

En particular, su Teorema 4 respuestas de la OPs primera pregunta es afirmativa.

Answer 2

Resulta que no son números enteros consecutivos $7^3y^2$ e $2^3x^2$ donde

x=1280501243627863240958544690009528057630666112209166210134539296491713575228511562822601

y=195559058652792360721040748497175750756141280467009959592151199119238991562483618043657

son cada uno de un producto, de 9 de primos de acuerdo a http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM , pude comprobar la supuesta factores en madera de ARCE, pero no)

El método en breve: Encontrar un primer p $p^3-1$ o $p^3+1$ de la forma $qz^2$ (con p un primo) entonces la ecuación de Pell $p^3u^2-qv^2=\pm 1$ tiene soluciones y los valores de $v \mod q$ son periódicas. Si $v$ es siempre un múltiplo de $q$, entonces hay una secuencia de soluciones a $p^3x^2-q^3y^2=\pm1$ Si $x,y$ nunca tienen la misma firma, ahí está el ejemplo (siempre y es primo con p y x p) .

Para el ejemplo anterior: Hay soluciones a $7b^2+1=8a^2$ los dos primeros son $a_0=1,b_0=1$ e $a_1=31,b_1=29$, con lo que es fácil encontrar,

$b_n=16a_{n-1}+15b_{n-1}$ e $a_n=14a_{n-1}+15b_{n-1}$.

Al $n \equiv 3 \mod 7$ entonces $b_n \equiv 0 \mod 7$

Después se pierde en n=3,7,10,17,31,38,45,52 (e ignorando $n=24 \mod 49$ donde $b_n$ se divide en un 49) el éxito en n=59.

$27a^2-2b^2=1$ nunca $27x^2-8y^2=1$ desde b es impar, sino $7\cdot a^2-3^3 \cdot b^2=1$ es $7^3x^2-3^3y^2=1$ 7 de cada momento.

Answer 3

Este es en realidad el objetivo de ser un comentario, no una respuesta, pero soy nuevo aquí y no tengo suficiente reputación para publicar un comentario, pero aún así...lo siento!

Sólo quería señalar que de Dickson conjetura implicaría una infinidad de números consecutivos con el mismo primer firma.

Por ejemplo, Dickson conjetura, diría que hay infinitamente muchos k tal que 4k+1 y 9k+2 son primos. Para cada k, 4(9k+2) y 9(4k+1) sería números consecutivos con el primer firma (1,2). Uno podría esperar aproximadamente el $\frac{3N}{\log 4N \log 9N}$ valores de k entre 1 y N tales que 4k+1 y 9k+2 son primos.

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Este comentario es dirigido hacia Davidac897 comentario acerca de tener más de un factor primo con exponente mayor que 1, que TonyK ya señaló que Tom Sirgedas' programa ya ha encontrado ejemplos de.

Dickson conjetura también implicaría una infinidad de estos ejemplos, donde más de un prime ha exponente mayor que 1.

Por ejemplo, digamos que queremos que prime la firma (1,2,2). Deje $a = 2^27^2$ e $b = 3^25^2$. Buscamos soluciones en los números primos $p$ e $q$ a $ap + 1 = bq$. Si $p = bk + 194$,, a continuación,$q = ak + 169$. Dickson conjetura diría que hay infinitamente muchos $k$ tal que $bk+194$ e $ak + 169$ son ambos primos. (La primera consecutivos par el uso de este método es $2463524 = 2^27^212569$ e $2463525 = 3^25^210949$.)

En una vena similar, puede utilizar Dickson de la conjetura a la fuerza de cualquier primer firma que desee, siempre que al menos uno de los exponentes es 1.

Answer 4

Esta pregunta está directamente relacionada con al $d(n)=d(n+1)$ donde $d(n)$ denota el divisor de la función.

Soluciones a $d(n)=d(n+1)$:

En 1952, Erdos y Mirsky conjeturó que $d(n)=d(n+1)$ tiene una infinidad de soluciones. En 1984, la Salud Brown demostró este resultado, y dio un límite inferior en la función de conteo. Deje $\widetilde{D}(x)$ denotar el número de $n\leq x$ satisfacción $d(n)=d(n+1)$. Heath Brown demostró que $$\widetilde{D}(x)\gg \frac{x}{(\log x)^7}.$$

En 1987 Erdős, Pomerance y Sárközy dio el límite superior $$\widetilde{D}(x)\ll \frac{x}{(\log \log x)^\frac{1}{2}}.$$

Más tarde ese año, Hildebrand mejora de la Salud de los Marrones Resultado que $$\widetilde{D}(x)\gg \frac{x}{(\log \log x)^3},$$, mostrando que la correcta magnitud implica un doble logarítmica del factor.

Números enteros consecutivos con idéntico primer firma:

Deje $\widetilde{\mathcal{P}}(x)$ denotar el número de enteros $n\leq x$ tal que $n$ e $n+1$ tienen el mismo primer firma. A continuación,$\widetilde{\mathcal{P}}(x)\leq \widetilde{D}(x)$, y así Erdős, Pomerance y Sárközy resultado implica inmediatamente que $$\widetilde{\mathcal{P}}(x)\ll \frac{x}{(\log \log x)^\frac{1}{2}}.$$ This means that the counting function is not linear even though the graph resembles a straight line. ($\log \log x$ crece muy lentamente, y es casi imperceptible)

Desde $d(n)=d(n+1)$ "a menudo" implica que $n$ e $n+1$ tienen la misma firma, parece probable que uno podría utilizar Hildebrands límite inferior para demostrar que el conjunto de enteros consecutivos con idéntico primer firma es infinito. La delimitación de la cantidad de veces que hemos $d(n)= d(n+1)$, sin embargo, la diferencia firmas, parece un enfoque fructífero.

Algunas Referencias: (Orden Cronológico)

• Erdös, Mirsky 1952: La distribución de los valores de $d(n)$.

• Heath-Brown 1984: El divisor de la función en números enteros consecutivos.

• Erdős, Pomerance y Sárközy 1987: local repiten los valores de ciertas funciones aritméticas. III.

• Hildebrand 1987: El divisor de la función en números enteros consecutivos.

Answer 5

Muy áspero heurística de la $k$th tal $n$ (primer firma twin) como una función de la $k$:

1ª hipótesis: El efecto dominante es dada por los números primos de la firma de $(1,1)$, es decir, por semiprimes.

2ª hipótesis: El número de semiprimes por debajo de $n$ está dado por $\pi_2(n) \sim \frac{n}{\ln n} \ln \ln n$, cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_prime

Entonces la densidad de probabilidad de la semiprimes está dado aproximadamente por $f_2(n) \sim \frac{\ln \ln n}{\ln n}$.

3ª hipótesis: La semiprimes está distribuido de forma independiente.

A continuación, el número de semiprime gemelos por debajo de $N$ está dado por $\int^{N} f_2(x)^2 dx$.

Por tanto, el número de la primer firma de los gemelos es rougly dado por $(\frac{\ln \ln n}{\ln n})^2$ (a un mejor precio o una fórmula asintótica se puede obtener mediante la evaluación de la integral.)

Por lo tanto el $k$th primer firma de los gemelos es aproximadamente dada por $n = k \cdot (\frac{\ln k}{\ln \ln k})^2$. Para $k = 200$ (como en la figura citada por el OP) esto da aproximadamente una pendiente de 8,8, del mismo orden de magnitud como en la figura.

Por supuesto esta muy cálculo aproximado se puede mejorar de varias maneras.