Deje $K$ ser un campo y $K^s$ un separables cierre de $K$, y deje $\mathcal{F}$ ser una gavilla en $\mathrm{Spec}(K)$ (en el étale topología).
Por Grothendieck de la Teoría de Galois, tenemos el isomorfismo
$$H_{\text{et}}^k(\mathrm{Spec}(K),\mathcal{F}) \cong H^k(\mathrm{Gal}(K^s/K),\mathcal{F}_{\mathrm{Spec}(K^s)})$$
es decir, el étale cohomology grupos de $\mathrm{Spec}(K)$ con coeficientes en $\mathcal{F}$ corresponden a la Galois cohomology grupos de la absoluta Galois grupo de $K$ que actúa sobre el tallo de $\mathcal{F}$ a (separadamente cerrado) geométrica punto de $\mathrm{Spec}(K^s) \to \mathrm{Spec}(K)$.
Pregunta: ¿hay alguna interpretación similar de la más general de Galois cohomology grupos en términos de étale cohomology grupos? Por ejemplo, podemos escribir la cohomology grupos $H^k(\mathrm{Gal}(L/K),L^\times)$ directamente en términos de étale cohomology grupos?
No veo cómo esto sería posible, dado que los topos-en teoría, podemos restringir nuestra atención a puntos con separadamente cerrado residuo de campo para los puntos geométricos de la correspondiente étale topos.
Hay alguna posibilidad de que podamos describir con más Galois cohomology de grupos, si tenemos en cuenta el resto de las topologías en una categoría de esquemas (Edit: de preferencia para obtener una descripción uniforme usando un solo sitio)?
Por último, si esto no es posible, ¿hay algún "dimensiones superiores" apariencias de esta discrepancia? Este es deliberadamente vaga, pero estoy pensando en algún tipo de cohomology grupos que restringir a étale cohomology grupos al considerar sólo separadamente cerrado geométrico de los puntos (a través de algún tipo de dimensiones superiores de la versión de Grothendieck de la Teoría de Galois).
