Busco dos polígonos convexos $P,Q \subset \Bbb R^2$ tal que $P$ no alicata el plano, $Q$ no alicata el plano, pero si permitimos usar $P,Q$ juntos, entonces podemos alicatar el plano.
Aquí no requiero que los tilings sean tilings de celosía, o incluso tilings periódicos. Permito que se realicen inclinaciones por congruente copias de $P$ y/o de $Q$ Es decir, ¡permito las rotaciones y los reflejos!
No he encontrado ningún ejemplo, y puede que no haya ninguno.
Hay un mosaico del plano hecho de heptágonos regulares y pentágonos irregulares.
Sabemos que los heptágonos regulares no pueden embaldosar el plano.
El pentágono irregular tiene cuatro lados iguales y uno más corto. Para embaldosar el plano con estos pentágonos sería necesario que dos pentágonos compartieran el lado más corto (como ocurre en la imagen), pero el ángulo resultante no puede ser embaldosado por otros pentágonos, por lo que este pentágono irregular no embaldosa el plano.
Imagen vía: https://twitter.com/gregegansf/status/1003181379469758464
Creo que la referencia es a este documento: https://erikdemaine.org/papers/Sliceform_Symmetry/paper.pdf
Wouah, ¡parece tan genial! ¡Me encanta este bello ejemplo! Voy a echar un vistazo más de cerca y luego aceptar su respuesta.
El mosaico hexágono-pentágono que se muestra en el artículo (p. 207) tiene una simetría más interesante, no es tan simple, regular y no es obviamente periódico. Lo llama "casi-regular". Me pregunto por qué hay diferentes disposiciones. Tal vez uno de ellos sea un casi-regular.
Un detalle que quizás merezca la pena señalar, aunque es bastante obvio a posteriori, es que el argumento de que cualquier "embaldosado del plano por estos pentágonos requeriría que dos pentágonos compartieran el lado corto" implica el hecho de que todas las esquinas del pentágono son obtusas, y por tanto no es posible que las esquinas de dos (o más) pentágonos se encuentren en medio de una arista de un tercer pentágono (como por ejemplo en este mosaico ).
SUGERENCIA:
Consideremos un hexágono convexo que puede embaldosar el plano. Hay tres tipos de hexágonos de mosaico tomamos una del tipo 1, que tiene dos lados opuestos paralelos e iguales
Córtalo en dos pentágonos. Hay $15$ tipos de pentágonos que forman parte del plano, véase enlace . Podemos disponer el corte de manera que las piezas obtenidas no embaldosen el plano.
Oups, me olvidé de decir que permito tilings por congruente copias de $P$ y/o de $Q$ Es decir, ¡permito rotaciones y reflexiones! Así que creo que en tu caso los dos polígonos convexos que obtenemos siguen embaldosando el plano individualmente.
@Alphonse: Sí, lo he entendido. He añadido una imagen, quizás lo aclare. Pero tengo que pensar si alguno de ellos azuleja el avión individualmente, no estoy seguro.
@Alphonse: Sin embargo, podemos hacer el procedimiento de corte con cualquier polígono que se embaldosa. Tengo la sensación de que en algún momento ambas piezas no se embaldosarán.
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¿Sabías que la pregunta equivalente en $\mathbb{R}^3$ tiene una respuesta elegante y sencilla? Los tetraedros regulares y los octaedros regulares no embaldosan el espacio individualmente, pero combinados sí lo hacen (suponiendo la misma longitud de las aristas).