Sólo puedo ofrecer un "refuerzo" de la explicación de tus amigos. En primer lugar, permítanme señalar que no soy un experto en este campo y estoy seguro de que hay algunos errores graves en mi argumento. Sin embargo, es demasiado largo para un comentario, así que lo publico como respuesta.
Consideremos primero el caso más sencillo de la (co)homología en lugar de los grupos fundamentales. Cuando hablamos de étale (digamos, $\ell$ -ádica) junto con su acción de Galois, el análogo trascendental se toma generalmente no sólo como los grupos de cohomología singulares, sino como estos grupos junto con su estructura de Hodge.
Del mismo modo, consideremos una curva hiperbólica $X$ sobre un campo numérico $K$ . Para simplificar, supongamos que se nos da un $K$ -punto base racional $x\in X(K)$ . El grupo fundamental que se considera es el grupo $\pi_1^{et}(X,x)$ como grupo profinito abstracto, o el grupo $\pi_1^{et}(X\otimes\overline{K},x)$ junto con su acción de $\operatorname{Gal}(\overline{K}|K)$ . La primera puede reconstruirse a partir de la segunda. La versión más débil de la conjetura anabeliana de Grothendieck para curvas dice (aproximadamente) que podemos reconstruir $X$ de $\pi_1^{et}(X,x)$ .
Permítanme explicar por qué podemos reconstruir $X$ de $\pi_1^{et}(X\otimes\overline{K},x)$ con su acción de Galois. La abelianización de este grupo con la acción de Galois es simplemente el producto sobre todo $\ell$ de la $\ell$ -Módulos Tate $T_{\ell }(\operatorname{Jac}X)$ . Estos son los $\ell$ -análogos ádicos de las estructuras de Hodge en la primera homomología, que llevan la misma información que el propio jacobiano. Por tanto, no es sorprendente (¡aunque sí muy difícil!) que podamos reconstruir $\operatorname{Jac}X$ a partir de estos datos, y el jacobiano determina la clase de isomorfismo de la curva por el teorema de Torelli. [Editar: Como ha señalado Torsten Ekedahl en los comentarios, no es cierto que se pueda recuperar una variedad abeliana a partir de su módulo de Tate].
Ahora bien, ciertamente hay algunos puntos en los que el argumento anterior no funciona tan sencillamente como se presenta, pero la moraleja es que el análogo del grupo fundamental aritmético sobre $\mathbb{C}$ debería ser el grupo fundamental topológico con una "estructura de Hodge sobre grupos". No sé si esto se ha resuelto alguna vez, pero se conoce bien la "estructura de Hodge sobre la terminación nilpotente del grupo fundamental", introducida por Hain y Zucker.
5 votos
Estoy de acuerdo en que parece un argumento poco convincente. Cualquier argumento convincente tiene que ser capaz de hacer una distinción entre el género $1$ y casos de género superior.
2 votos
Recuerdo haber leído en alguna parte (¿quizás en el informe Bourbaki de Faltings sobre el teorema de Mochizuki?) que el teorema de la rigidez de Mostow ( es.wikipedia.org/wiki/Teorema de rigidez de Mostow ) fue una de las motivaciones.