Es bien sabido que, asumiendo el axioma de la elección (en la forma del lema de Zorn), se puede demostrar que el campo de $F$ ha algebraica de cierre. Una prueba de aproximadamente va de la siguiente manera: considere el parcialmente ordenado conjunto de extensiones algebraicas $K/F$, ordenados por inclusión; demostrar que satisface las hipótesis del lema de Zorn; a continuación, el lema de Zorn implica la existencia de un elemento maximal, muestran que este elemento maximal es algebraicamente cerrado.
Ahora, en mi teoría Algebraica de números de la clase, el profesor le dio un "constructiva" la prueba de este hecho: vamos a $S$ ser el conjunto que consta de todos los que no constante polinomios en $F[X]$, y la construcción del anillo de $R=F[X_f:f\in S]$ (es decir, un polinomio de anillo con una variable para cada elemento de a $S$); deje $A_0$ a ser el ideal de $R$ generado por el polinomio de $\{f(X_f):f\in S\}$; demostrar que es un buen ideal, y por lo que está contenido en un ideal maximal $A$; el cociente $R/A$ es por lo tanto un campo, el cual contiene $F$ como un subcampo; recorrer, y tomar la unión de todos estos campos; entonces, esta unión es la clausura algebraica de $F$. Él también menciona (si no recuerdo mal) que uno puede demostrar que después de sólo una iteración, se obtiene la expresión algebraica de cierre. Ahora, pongo entre comillas "constructivo", porque sospecho que aún es necesario el axioma de elección en algún momento de probar que, de hecho, usted tiene la algebraicas de cierre (aunque no he comprobado los datos).
Así que, aquí está mi pregunta:
Es el caso de que esta prueba es constructiva?
Otra pregunta:
Se puede probar la existencia de una expresión algebraica cierre dentro de ZF (sin el axioma de elección)?
Gracias de antemano.
