Ejemplo de no-variedad proyectiva con no semisimple Frobenius acción en etale cohomology?

Question

Esta pregunta fue motivada por una pregunta más general planteado por Jan Weidner aquí. En general se comienza con una variedad $X$ (digamos suave) a través de una clausura algebraica de un campo finito $\mathbb{F}_q$ de los característicos $p$. Aquí hay una acción natural de un Frobenius de morfismos $F$ en relación al $q$. Dada una clara prime $\ell$, hay un inducida por la operación de $F$ en etale cohomology grupos (con soporte compacto) $H^i_c(X, \overline{\mathbb{Q}_p})$. Al $X$ es proyectiva, esta acción se conjetura que es semisimple en cada una de las finito dimensionales espacios vectoriales involucrados. Pero parece que semisimplicity puede fallar al $X$ no es proyectiva. Mi pregunta básica es:

Hay un ejemplo elemental, donde el Frobenius acción no es semisimple? (Referencias?)

Por supuesto, etale cohomology desarrollado en respuesta a las conjeturas de Weil y cuestiones relacionadas con la teoría de los números. Aquí hay mucho de lo profundo de la literatura que Estoy familiarizado con, pero me gustaría obtener una idea de la estrecha cuestión de lo que hace o no la fuerza semisimplicity para los no-variedades proyectivas.

Mi interés radica principalmente en Deligne-Lusztig variedades y su papel en el estudio de caracteres de grupos finitos de tipo de Mentira. Tales variedades $X_w$ están catalogados por el grupo de Weyl elementos y son localmente cerrado suave subvariedades de la bandera variedad para una reductora grupo $G$, con todos los irreductible componentes de igual dimensión. Aquí el subgrupo finito $G^F$ actúa sobre el etale cohomology, los desplazamientos con $F$, y el resultado de los personajes virtuales (alternando sumas de caracteres en cohomology espacios) son el D-L caracteres.

Los personajes de finito tori también entran en juego aquí, pero estoy pensando en primer lugar, el trivial personajes de tori que conducen a la "unipotentes" caracteres. Estos incluyen esencial, pero misterioso "cuspidal" unipotentes caracteres que no pueden se extrae de la habitual inducida por los caracteres obtenidos por parabólico de inducción.

Por ejemplo, el Chevalley grupo $G_2(\mathbb{F}_q)$ normalmente tiene 10 unipotentes personajes (en los extremos de la trivial y Steinberg caracteres), siendo cuatro cuspidal. Los cuatro aparecen en etale cohomology grupos de una variedad $X_w$ con $w$ un Coxeter elemento: la variedad de dimensión 2, con cuatro personajes (tres cuspidal, el otro Steinberg) en grado 2, uno (cuspidal) en el grado 3, y uno (el carácter trivial) en el grado 4. Milagrosamente, siempre sucede en el Coxeter caso de que $F$ actos semisimply (aquí con 6 distintos autovalores: el Coxeter número) y sus subespacios propios permitirse el lujo de distintos irreductible de los personajes. En el año después de que él y Deligne terminado su papel fundamental (Anales, 1976), Lusztig trabajado el Coxeter caso en una profunda documento técnico aquí. Esto fue seguido por una más completa determinación de cuspidal unipotentes personajes, y mucho más. El Coxeter caso parece ser inusualmente bien comportado en este programa.

P. S. Como yo sospechaba, hay más cosas bajo la superficie de mi pregunta básica acerca de semisimplicity que salta a la vista. Como un extraño para gran parte de la geometría algebraica marco que se puede apreciar el esquema de Dustin respuesta, aunque todavía no se los detalles. Mi pregunta fue la de preguntarse si hay formas de acceso directo de algunos de los mayores medidas adoptadas por Lusztig, pero el más amplio de las preguntas aquí son obviamente importantes. Voy a tener que ver cómo ahora mi motivación (en una manera de hablar) me lleva.

Y Wilberd: gracias por la corrección, que no es una de mis cosas favoritas para hacer. (Aunque de alguna manera consiguió "sólo bonce" en un libro que supuestamente fue corregido.)

Answer 1

En realidad, la semisimplicity debe sostener con ninguna hipótesis sobre X, de modo que no hay ningún ejemplo que debe de existir. De hecho, generalmente se espera que, con char. 0 los coeficientes de y sobre un campo finito (ambas hipótesis, de ser necesario), cada mixto motivo es una suma directa de motivos puros -- así que la pregunta para arbitrario variedades reduce a que para el buen proyectiva queridos.

La razón es la siguiente: el diferente peso de las piezas no tienen frobenius autovalores en común (por parte de las conjeturas de Weil), por lo que el peso de la filtración se puede dividir por una simple cuestión de álgebra lineal. (Y la división, a pesar de ser motivic desde frobenius es un mapa de variedades.)

Edit: En respuesta a Jim comentario, voy a tratar de proporcionar una mejor argumento (2ª edición: ya no se utiliza la Tate conjetura). Me dicen que si asumimos la existencia de un motivic t-estructura sobre F_q w.r.t. la l-ádico realización en el sentido de Beilinson del artículo http://arxiv.org/pdf/1006.1116v2.pdf, a continuación, a condición de que H^i_c(X-barra) es Frobenius-semisimple para el buen proyectiva X, de hecho, es así que para aribtrary X.

De hecho, dado un motivic t-estructura, su corazón es un artinian abelian categoría donde cada irreductible objeto es un sumando de un Tate-toque de un H^i(X) para X suave proyectiva, y además no hay extensiones entre irreducibles del mismo peso (todo esto es en Beilinson del artículo).

Todo eso es verdad sobre un general de campo. Pero ahora vamos a argumentar que, en el caso de un campo finito, también no pueden ser extensiones entre irreducibles de diferentes pesos; a continuación, en la motivic categoría todos nuestros H^i_c(X-barra) de interés será directa sumas de sumandos de H^i(X)'s, y te han hecho con éxito la reducción de la suave proyectiva caso.

Así que supongamos que M y N son irreductibles motivos de distinto peso de más de F_q, y dicen que E es una extensión de M por N. Considerar la característica polinomios p_M y p_N de Frobenius que actúan sobre la l-ádico cohomologies de M y N. Por Deligne, tienen racional de los coeficientes y de distintos autovalores, por lo que podemos resolver p * p_N == 1 (mod p_M) racional-coeficiente del polinomio q. Pero luego (q*p_N)(frobenius), que actúa sobre E divide la extensión (el recuerdo de Beilinson del artículo que la l-ádico realización es fiel bajo nuestra hipótesis), y hemos terminado.

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Posteriormente comentario: al parecer, cuando escribí esto estaba un poco demasiado entusiasmados con las perspectivas ofrecidas por los motivos. Debo destacar que el punto esencialmente por Minhyong Kim, que la reducción del caso general para el correcto liso caso probable es que no requiere ningún tipo de motivic tecnología, y aún debe ser independiente de cualquier conjeturas. Uno sólo necesita saber que hay un peso de filtración en l-ádico cohomology de tipo estándar, donde la pura piezas son directos sumas de sumandos directos de la adecuada cohomology de suave variedades proyectivas. Como Minhyong dice, probablemente esto se sigue de Deligne original de pura --> mezclado argumento, a través de la utilización de compactifications y de Jong alteraciones. O al menos eso es lo que a mí me parece, sin haber entrado en los detalles. Estoy seguro de que alguien más sabe mejor.