El Gelfand la dualidad del pro-$C^*$-álgebras

Question

El Gelfand dualidad dice que $$X\to C(X)$$ es un contravariante de la equivalencia entre la categoría de los compactos de Hausdorff espacios y continua de los mapas y la categoría de los conmutativa unital $C^*$-álgebras y continua $*$-homomorphisms. Un conocido generalización de $C^*$-álgebras son pro-$C^*$-álgebras. Pro-$C^*$-álgebras son topológicas $*$-álgebras de que se cofiltered límites de $C^*$-álgebras (en la categoría de topológico $*$-álgebras). Véase, por ejemplo, este papel por Phillips. Si $X$ es débilmente Hausdorff compacto genera el espacio, no es difícil ver que $C(X)$, las funciones continuas de $X$ a $\mathbb{C}$, es un pro-$C^*$-álgebra. De hecho, es el cofiltered límites de $C(K)$, como $K$ rangos más compactos de Hausdorff subespacios de $X$. Mi pregunta es:

Es el functor $$X\to C(X)$$ un contravariante de la equivalencia entre la categoría de débilmente Hausdorff compacto genera espacios y continua de los mapas y la categoría de los conmutativa unital pro-$C^*$-álgebras y continua $*$-homomorphisms?

Algunas observaciones:

1. En el documento de Phillips se mencionó anteriormente, el Teorema 2.7, se muestra que el functor de arriba es una contravariante de la equivalencia entre la categoría de totalmente Hausdorff quasitopological espacios y la categoría de los conmutativa unital pro-$C^*$-álgebras. También se muestra, en el Ejemplo 2.11, que cuando se limita a la subcategoría plena de Hausdorff compacto generado espacios, este functor no es esencialmente surjective. Pero esto no responde a mi pregunta, porque tal vez débilmente Hausdorff compacto generado espacios de este functor es esencialmente surjective.

2. Al parecer, la razón por la Phillips insiste en trabajar con completamente Hausdorff (cuasi)espacios topológicos es que la forma en que la prueba de este resultado es la construcción de un proceso inverso a la equivalencia que asigna a cualquier conmutativa unital pro-$C^*$-álgebra de su espectro. La forma en que se define el espectro, se puede demostrar que si $A$ es un conmutativa unital pro-C*-álgebra, el espectro de $A$ es totalmente Hausdorff. Pero, de nuevo, esto no contesta a mi pregunta, porque tal vez se puede definir una relación inversa entre la equivalencia de una manera diferente, o tal vez, uno puede mostrar que este functor es totalmente fiel y esencialmente surjective.

3. La principal razón por la que estoy pidiendo es que la categoría de débilmente Hausdorff compacto generado espacios es muy importante en la topología algebraica y homotopy teoría, y tal resultado implica que la pro-$C^*$-álgebras son exactamente los no-conmutativa versión de la misma.

Nota: he utilizado la terminología del papel de Phillips que me refería. Tenga en cuenta que la categoría de pro-$C^*$-álgebras no es el pro-de la categoría de $C^*$-álgebras. En particular, de sus objetos topológicos $*$-álgebras y no cofiltered diagramas de $C^*$-álgebras. Algunos autores llaman pro-$C^*$-álgebras localmente $C^*$-álgebras. Se puede demostrar que el pro-de la categoría de $C^*$-álgebras contiene la categoría de pro-$C^*$-álgebras, como un completo coreflective subcategoría.

Edit: Debido a Simón la respuesta de la functor $X\to C(X)$ definido anteriormente, es evidente que no fieles. Pero la siguiente pregunta sigue siendo: ¿Es este functor completo y esencialmente surjective. Si es así, entonces se podría inducir a una contravariante de equivalencia de categorías entre las $\overline{CGWH}$ y la categoría de los conmutativa unital pro-$C^*$-álgebras, donde $\overline{CGWH}$ es la categoría de débilmente Hausdorff compacto genera espacios y clases de equivalencia de continuo mapas, donde dos continuo mapa de $X\rightrightarrows Y$ se llaman equivalentes si la inducida por los mapas de $C(Y)\rightrightarrows C(X)$ son los mismos.

Answer 1

La respuesta es No. Rougly, porque no es una buena idea mirar en continua $\mathbb{C}$ valores de la función en un espacio que no es completamente Haussdorff completamente haussdorf es exactamente la hipótesis que dice "tu espacio puede ser entendido por looing en función de encima"... yo realmente no creo que se pueda obtener algo diferente de Philips resultado considerando el mismo functor.

Más precisamente: Tomar un ejemplo de un espacio de $X$ que débilmente Hausdorff CG, pero no completamente Hausdorff.

entonces no va a ser un par de puntos de $x,y \in X$ tal que para cualquier función continua $f:X \rightarrow \mathbb{C}$. $f(x) = f(y)$

Por eso, las dos funciones :$x,y: \{ *\} \rightrightarrows X$ va a tener la misma imagen de su functor que es, por lo tanto no faithfull, y por tanto no una equivalencia de la categoría.

Edit : Esta respuesta la versión editada de la pregunta.

Si usted comienza a partir de una débil Haudorf CG espacio de $X$, entonces usted puede considerar la relación de equivalencia en $X$ definido por $x \sim y$ si para todas continua $\mathbb{C}$ funciones con valores de $f$ en $X$, $f(x)=f(y)$. Deje $Y$ ser el cociente de $X$ por esta relación. Por construcción $Y$ es CG (que es el cociente de un centro de gravedad en el espacio), las funciones de $X$ a $\mathbb{C}$ es compatible con la relación de equivalencia, por tanto, se define una función de $Y$ a $\mathbb{C}$, por lo tanto $Y$ es totalmente Hausdroff y $C(Y) = C(X)$. Así que la imagen de su functor es el mismo que el de la imagen de la functor de Philips cuando restringida a CG espacios, que como usted menciona en su pregunta al parecer no está esencialmente surjective.

Uno puede también, probablemente, probar que no es completo por la construcción de un ejemplo donde no habrá tantos interesante los mapas del cociente $Y$ a el espacio inicial $X$, mientras que si el functor estaba lleno, a continuación, el isomorphisms mapa de $C(X)$ a $C(Y)$ debe estar representada por un mapa de $Y$ a $X$...

Answer 2

La respuesta es sí, puede cambiar la categoría en la topológico de lado un poco a: compacta generado funcionalmente Hausdorff espacios topológicos con una distinguida familia de conjuntos compactos; continuo con los mapas que preservar la distinguida familia. Véase el Teorema 6 de

Michael Falsificador, Daniel V. Paulino, Localmente $C^*$ Álgebras, $C^*$ Paquetes y no conmutativa Espacios, arXiv:1307.4458v1