La desigualdad, a partir del Capítulo 5 del libro *Cómo Pensar Como un Matemático*

Question

Esto es del libro Cómo pensar como un Matemático,

Cómo puedo probar la desigualdad $$\sqrt[\gran 7]{7!} < \sqrt[\grande 8]{8!}$$

sin complicados cálculos? He intentado y finalmente obtuvo apenas $$\frac 17 \cdot \ln(7!) < \frac 18 \cdot \ln(8!)$$

Answer 1

Su desigualdad es equivalente a $$(7!)^8 < (8!)^7$$ se divide por $(7!)^7$, y obtener $$7! < 8^7$$ y esto es claro, ya que $$1 \cdots 7 < 8 \cdots 8$$

Answer 2

Pensar

$${\ln(7!)\over7}={\ln(1)+\cdots+\ln(7)\over7}$$

como el promedio de los siete números y

$${\ln(8!)\over8}={\ln(1)+\cdots+\ln(8)\over8}$$

como el promedio cuando un octavo número se agrega. Desde que el nuevo número es mayor que la de los anteriores siete, el promedio también debe ser más grande. (E. g., si usted consigue un mejor resultado en la final que en cualquiera de sus exámenes parciales, de su grado, debe ir hacia arriba, no hacia abajo).

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \sqrt[7]{7!} < \sqrt[8]{8!} \ffi\\ (7!)^8 < (8!)^7 \iff\\ 7! < \frac{(8!)^7}{(7!)^7} \iff\\ 7! < 8^7 $$ Usted debe encontrar que la prueba de esta última línea es bastante sencillo.

Answer 4

$8\ln (7!) < 7\ln (8!) \Rightarrow \ln (7!) < 7\ln 8 \ffi \ln 1 + \ln 2 +\cdots \ln 7 < 7\ln 8$, que es clara.

Answer 5

Usted ya se han convertido en la comparación de los dos medios geométrica en la comparación de dos media aritmética. Así que considere más general de la comparación: mostrar que añadiendo un número mayor siempre se plantea la media geométrica de una lista de números positivos, mostrando el efecto sobre la media aritmética. Supongamos que el $x_i$ son reales y $x_{n+1}$ es estrictamente mayor. \begin{ecuación*} \begin{split} (1/(n+1)) \sum_{i=1}^{n+1} x_i &= (1/(n+1)) (x_{n+1} + \sum_{i=1}^{n} x_i) \\ Y=(1/(n+1) (n x_{n+1}/n + n \sum_{i=1}^{n} x_i / n) \\ &> (1/(n+1) (\sum_{i=1}^{n} x_i/n + n \sum_{i=1}^{n} x_i / n) \\ Y= (1/(n+1) ((n+1) \sum_{i=1}^{n} x_i / n) \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i / n \end{split} \end{ecuación*}

Tenga en cuenta que nosotros en realidad sólo necesitaba $x_{n+1}$ a ser más grande que el anterior significa.