Una nueva combinatoria de la propiedad de la tabla de caracteres de un grupo finito?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $\Lambda = (\lambda_{i,j})$ su tabla de caracteres con $\lambda_{i,1}$ el grado de la i-ésima carácter.

Considere el siguiente combinatoria de propiedad de $\Lambda$: para todos los triples $(j,k,\ell)$ $$\sum_i \frac{\lambda_{i,j}\lambda_{i,k}\lambda_{i,\ell}}{\lambda_{i,1}} \ge 0.$$ Es una consecuencia de una más general resultado que implican subfactor plana álgebra y la fusión de la categoría (ver aquí Corolario 7.5, ver también esta respuesta).

Pregunta: Es esta combinatoria de la propiedad ya se sabe finito grupo de teóricos?
Si sí: ¿Qué es una referencia?
Si no: hay un grupo de teóricos elementales de la prueba?
En cualquier caso: ¿hay otras propiedades de la misma especie?

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Para evitar cualquier malentendido, veamos un ejemplo. Tome $G=A_5$, su tabla de caracteres es:
$$\left[ \begin{matrix} 1&1&1&1&1 \\ 3&-1&0&\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ 3&-1&0&\frac{1-\sqrt{5}}{2}&\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 4&0&1&-1&-1 \\ 5&1&-1&0&0 \end{de la matriz} \right] $$ Tomemos, por ejemplo, $(j,k,\ell) = (2,4,5)$, a continuación, $\sum_i \frac{\lambda_{i,j}\lambda_{i,k}\lambda_{i,\ell}}{\lambda_{i,1}} = \frac{5}{3} \ge 0$.

Answer 1

Por norma las manipulaciones con el grupo de álgebra, su suma tiene una combinatoria/probabilística de la interpretación que hace de su nonnegativity claro.

El elemento $ \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} [g hg^{-1} ]$ en el grupo de álgebra es conjugacy invariante, y por lo tanto actúa por escalares en cada representación irreducible. Porque su huella en una representación con el carácter $\chi$ es $ \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} \chi( g hg^{-1} ) = \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} \chi( h )= \chi(h)$, su único autovalor debe ser $\frac{\chi(h)}{\chi(1)}$. Por tanto, para $h_1,h_2,h_3$ tres elementos del grupo,

$$ \left( \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} [g h_1g^{-1} ]\right) \left( \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} [g h_2g^{-1} ]\right) \left( \frac{1}{|G|} \sum_{ g\in G} [g h_3g^{-1} ]\right) $$

actos en esta representación con autovalor $\frac{ \chi(h_1) \chi(h_2) \chi(h_3)}{\chi(1)^3}$.

Ahora, el grupo de álgebra, como un módulo más de sí, es la suma de más irreductible de caracteres $\chi$ de $\chi(1) $ copias de la representación con carácter $\chi$. Por lo tanto la traza de este elemento en el grupo de álgebra es $$\sum_{\chi} \chi(1) \cdot \chi(1) \cdot \frac{ \chi(h_1) \chi(h_2) \chi(h_3)}{\chi(1)^3}= \sum_{\chi} \frac{ \chi(h_1) \chi(h_2) \chi(h_3)}{\chi(1)}.$$

Por otro lado, el seguimiento de un elemento del grupo de álgebra en sí mismo es el orden del grupo de veces el coeficiente de $[1]$. El coeficiente de $[1]$ en este elemento particular es $\frac{1}{ |G|^3}$ veces el número de $g_1,g_2,g_3$ tal que $g_1 h_1 g_1^{-1} g_2 h_2 g_2^{-1} g_3 h_3 g_3^{-1} =1$. Esto le da a la interpretación combinatoria

$$\sum_{\chi} \frac{ \chi(h_1) \chi(h_2) \chi(h_3)}{\chi(1)} = \frac{1}{ |G|^2} \left| \{ g_1,g_2,g_3 \in G \mid g_1 h_1 g_1^{-1} g_2 h_2 g_2^{-1} g_3 h_3 g_3^{-1} =1 \}\right|$$

a partir de la cual de no negatividad es clara.

Me imagino que este es, probablemente, en el grupo de teoría de la literatura en algún lugar pero no sé donde.

Answer 2

Este hecho es bien conocido en el carácter de la teoría de la literatura, y se va de vuelta a Frobenius y Burnside. Lo que estamos calculando es un racional positivo múltiples de una clase de álgebra constante, y la clase de álgebra constantes son claramente negativo.

Con la notación de David Speyer comentario, es bien conocido, y deriva en la mayoría de teoría de la representación de los textos que $\frac{|G|}{|C_{G}(f)| |C_{G}(g)|} \sum_{\chi} \frac{\chi(f)\chi(g)\chi(h)}{\chi(1)}$ es el número de veces $h^{-1}$ se pueden expresar como un producto de un conjugado de $f$ y un conjugado de $g$. El carácter de la teoría de la fórmula es fácilmente deriva de las expresiones de la clase sumas como combinaciones lineales de las primitivas central idempotents del grupo de álgebra $\mathbb{C}G$, y se puede encontrar en muchos textos .