La tangente paquetes de cerrado hiperbólico las superficies planas $PSL(2,\mathbb{R})$ conexiones que muestra que no puede haber integral de la fórmula de Euler clase de conexiones. Esto contrasta con la situación de la Ortogonales grupo, donde el Pfaffian aplicada a la curvatura se integra a la clase de Euler. Puede alguien sugerir conceptual de la razón de la ausencia de un local de la fórmula en el caso de que la conexión no puede mantener una métrica? Se relaciona con el hecho de que la clase de Euler es inestable?
Respuesta
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Johannes Ebert
Puntos
13705
Creo que el punto es el teorema, debido a Cartan, que el universal Chern-Weil homomorphism
$$CW_G:Sym^{k} (\mathfrak{g})^G \to H^{2k}(BG; \mathbb{R})$$
a partir de invariantes formas en la Mentira de álgebra para el cohomology de la clasificación de espacio es un isomorfismo una vez $G$ es compacto. Si $G$ es complejo reductora (como $GL_n (\mathbb{C})$), luego se sigue por la central unitaria de truco que $CW_G$ es un isomorfismo así. Pero si $G$ no es ni compacto ni reductora, no hay ninguna razón para esperar que una expresión de una característica general de la clase a tienen una expresión en términos de la curvatura. De hecho, Milnor muestra el ejemplo de la que $CW_G$ no es surjective para $G=PSL_2 (\mathbb{R})$. Yo recuerdo vagamente que el si $G$ es el $3$-dimensiones Heisenberg grupo (con el centro $S^1$), a continuación, $CW_G$ es el cero mapa en positivo grados, aunque ambos de origen y de destino son diferentes de cero.
