Si $f,g$ son suaves, con funciones de apoyo en el intervalo de $[-r,r]$ para algunos $r>0$, entonces su convolución $f*g$ es suave, con apoyo en $[-2r,2r]$. Mi pregunta es acerca de la inversa: Dado liso $h$ con apoyo en $[-2r,2r]$, puedo escribir siempre como $h=f*g$ con $f,g$ como el anterior? (Por transformada de Fourier, se puede formular este problema también como una descomposición de la totalidad de funciones de tipo exponencial $2r$ en un producto de la totalidad de funciones de tipo exponencial $r$ con las restricciones adicionales sobre la recta real.)
Respuestas
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Después de algo más de buscar he encontrado la solución en la literatura. En el papel
L. Ehrenpreis, "Solución de algunos problemas de división. IV", Amer. J. Math. 82 (1960), 522-588
Ehrenpreis plantea la pregunta de si alguna de las $h\in C_c^\infty({\mathbb R}^n)$ puede ser representado como una convolución $f*g$ de dos funciones de $f,g\in C_c^\infty({\mathbb R}^n)$, esta pregunta es, por tanto, conocida como la "Ehrenpreis problema de la factorización".
Para $n\geq2$ la respuesta es no (se muestra 1978-1980 por varios autores, citados en el documento a continuación), pero para $n=1$ tal factorización es siempre posible. Esto ha sido demostrado mucho más tarde en
R. S. Yulmukhametov, "la Solución de la Ehrenpreis problema de la factorización", Sb. De matemáticas. 190 (1999) 597, doi:10.1070/SM1999v190n04ABEH000400
a través de la compleja enfoque de análisis, es decir, por la factorización de toda la transformada de Fourier de $h$ (y en particular sus ceros) de una manera apropiada. En su Teorema 10, Yulmukhametov también responde a la afilado versión, incluyendo las condiciones de soporte supp $h\subset[-2r,2r]$, supp $f$, supp $g\subset[-r,r]$, afirmativamente. Esta es precisamente la cuestión publicado aquí.
Hans-Peter Störr
Puntos
26
La cuestión general de si las funciones de prueba son las circunvoluciones de los otros dos, o finito de sumas y/o limitaciones, es el tema de (al menos) dos artículos clásicos:
Pierre Cartier, 'Vecteurs diffe rentiables dans les represen sentations unitaires des groupes de Mentira', exponer 454 de Seminaire Bourbaki 1974/1975. Notas de la conferencia en Matemáticas 514, Springer, 1976.
Jacques Dixmier y Pablo Malliavin, 'Factorisations de fonctions et de vecteurs inde finiment diffe ren - tiables', Bull. Sci. De matemáticas. 102 (1978), 305-330.
En la Mentira de los grupos en general, la respuesta es que una de las pruebas de función se puede escribir como una suma finita de las circunvoluciones de los pares de funciones de prueba. En algún punto, la suma debe contener un número indefinido de sumandos, pero para muchas aplicaciones, esto es irrelevante.
