[Editado para describir triple y de orden superior coincidencias para el prime $k$, la recuperación de la observó $0.672$ la proporción de la $k=5$]
Darij bastante argumento, extendido por la GH, bien responde a la pregunta de $k$-th poderes modulo un gran primer $p \equiv 1 \bmod k$ para cada uno de ellos fijo $k>2$. Aún más se puede decir: que el enfoque de los rendimientos de la existencia de una coincidencia $a^k \equiv b^k$ con $0 < a < b < p/k\phantom.$; pero, de hecho, el número de coincidencias es asintóticamente proporcional a $p$: el recuento $C_k \phantom. p + O_k(p^{1-\epsilon(k)})$ donde $C_k = (k-1)/(2k^2)$ o $(k-2)/(2k^2)$ según $k$ es par o impar, y $\epsilon(k) = 1/\varphi(k) \geq 1/(k-1)$.
Extendiendo el análisis a la triple a y de orden superior coincidencias también los rendimientos de la asintótica proporción de $k$-th poderes que surgen en $\lbrace a^k \phantom. \bmod p : a < p/k \rbrace$. Por ejemplo, cuando se $k$ es una extraña prime, la proporción de $k$-th poderes que no tienen un $k$-ésima raíz en $(0,p/k)$ es asintótica a $((k-1)^k+1)/k^k$; para $k=5$ eso $41/125$, por lo que la proporción con un $k$-ésima raíz es $84/125$, que coincide con A. Caicedo observada $0.672$ exactamente. También da $1 - \frac{8+1}{27} = 2/3$ para $k=3$, coincidente con la proporción de cubos informó Greg Martin en los comentarios de abajo; como es $k \rightarrow \infty$ la proporción de $k$-th potencias con pequeñas $k$-th raíces enfoques $1 - (1/e)$.
He aquí cómo calcular el número de pares. Comenzar con la observación de que $a^k = b^k$ fib $b \equiv ma \bmod p$ donde $m$ es uno de los $k-1$ soluciones de $m^k \equiv 1 \bmod p$ otros de $m=1$. Si $k$ es incluso, se excluyen también de $m=-1$, lo cual es imposible con $0<a,b<p/k$. A continuación, $b \equiv ma \bmod p$ define un entramado de índice $p$ en ${\bf Z}^2$ cuyas distinto de cero vectores tienen la longitud $\gg p^{\epsilon(k)}$, debido a que para un vector $p$ divide el número distinto de cero $a^k-b^k$, que los factores en polinomios homogéneos en $a,b$ cada uno de grado en la mayoría de las $\phi(k)$. [Aquí es donde utilizamos $m \neq -1$: si $a=-b$ entonces $a^k-b^k=0$.] Por lo tanto las soluciones de $b \equiv ma \bmod p$ con $a,b \in (0,p/k)$ son el entramado de puntos en un cuadrado de área $(p/k)^2$, y su número se estima por $p^{-1} (p/k)^2 = p/k^2$, con un error obligado proporcional a (perímetro)/(longitud de menor vector distinto de cero), es decir, proporcional a $p^{1-\epsilon(k)}$. El total de $C_k \phantom. p + O_k(p^{1-\epsilon(k)})$, luego sigue sumando sobre todos los $k-1$ o $k-2$ soluciones de $m^k=1 \bmod p$ otros de $m = \pm 1$, y dividiendo por 2, porque hemos contado cada coincidencia dos veces, como $(a,b)$ e $(b,a)$.
Del mismo modo se puede estimar la cuenta de triples, etc. Uno debe ser cuidadoso con los subconjuntos de la $k$-th raíces de la unidad, que han entero dependencias, pero al menos al $k$ es el primer no hay dependencias, excepto que todas las $k$ de ellos de suma cero. Si hice este derecho, el resultado de $j<k$ es que el número de $j$-elemento subconjuntos de $\lbrace 1, 2, \ldots, (p-1)/k \rbrace$ con el mismo $k$-ésima potencia es asintótica a ${k \choose j} p / k^{j+1}$, mientras que no hay ningún tipo de subconjuntos con $j=k$ porque la suma de todos los $k$ soluciones de $a^k \equiv c \bmod p$ se desvanece. Un ejercicio en generatingfunctionological inclusión-exclusión, a continuación, se produce la fórmula $((k-1)^k+1)/k^k$ para el asintótica proporción de $k$-th poderes que no tienen $k$-th raíces en $(0,p/k)$.
La misma técnica también funciona para $0 < a < b < M$ con $M$, considerablemente más pequeñas que $p/k$; y el resultado de coincidencias, cuando existen, pueden ser calculados de manera eficiente el uso de celosía base de la reducción (que sucede que he mencionado en este foro hace un par de días).
