En qué campos de multiplicación grupo isomorfo al grupo aditivo veces Z/2Z?

Question

Deje $K$ ser un campo, $K_{*}$ su grupo multiplicativo y $K_{+}$ aditivo grupo. Como Richard Stanley notas en esta respuesta, el único ámbito en el que $K_{+} \simeq K_{*} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es $K=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. En qué campos $K_{*} \simeq K_{+} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$? Por ejemplo, $K=\mathbb{R}$ es un ejemplo.

Answer 1

EDIT: La respuesta a es incorrecta: además de todos los elementos tener impar de raíces y exactamente uno de $a$ e $-a$ tener una raíz cuadrada, no debe haber ningún raíces de la unidad en la $K$ además $\pm 1$. Este aún se mantiene para cualquier ordenó campo con todos los impares raíces y positivo de las raíces cuadradas, pero mi argumento para una unorderable ejemplo no funciona. No sé si hay algún ejemplo que no puede ser ordenado.

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Es fácil ver que cualquier campo debe tener la característica 0. En el carácter 0, esto es si el grupo multiplicativo que tiene la forma de $\mathbb{Z}/2\oplus V$ donde $V$ es $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. El hecho de tener tal división es equivalente a la siguiente condición: para todos los $a\in K_*$, $a$ tiene un $p$th raíz de todos los impares $p$ y exactamente uno de $a$ e $-a$ tiene una raíz cuadrada. Es fácil construir campos de satisfacción de este. Por ejemplo, una orden de campo satisface esta iff ha impar de raíces de todos los elementos y las raíces cuadradas de todos los elementos positivos.

Sin embargo, también hay ejemplos que no se pueden ordenar. De hecho, en cualquier campo de característica 0, que no contiene una raíz cuadrada de $-1$ está contenida en dicho campo. De hecho, usted puede tomar un máximo de extensión algebraica $K$ que no contiene una raíz cuadrada de $-1$. En primer lugar, yo reclamo cada impar de grado del polinomio tiene una raíz en $K$. Deje $f\in K[x]$ ser un polinomio de mínimos impar grado que no tienen una raíz. Entonces por maximality de $K$, $K[x]/(f)$ debe tener una raíz cuadrada de $-1$. Es decir, existen polinomios $g$ e $h$ tal que $h^2+1=fg$, e $h$ puede ser elegido tener grado estrictamente menor que $f$. Pero, a continuación, $g$ debe tener impar grado menos de $f$ e $K[x]/(g)$ también contiene una raíz cuadrada de $-1$. Por lo tanto $h$ no tiene una raíz en $K$, contradiciendo minimality del grado de $f$.

En segundo lugar, para cualquier $a\in K$, o bien $a$ o $-a$ es un cuadrado. Supongamos $-a$ no es un cuadrado; por maximality basta para mostrar $K[\sqrt{a}]$ no contiene una raíz cuadrada de $-1$. Pero si $(b+c\sqrt{a})^2=-1$, entonces cualquiera de las $b^2=-1$ o $c^2=-1/a$, contradiciendo ese $-a$ e $-1$ no son plazas en $K$.

Answer 2

Un subcampo de la $\mathbb R$ tiene esta propiedad, si es cerrado bajo $\exp$ e $\log$.

Dado cualquier conjunto finito de números,el conjunto generan el marco de las operaciones de $+,\times, -, /,\exp,\log$ es siempre contables. Comenzando con $0$ e $1$, obtenemos una contables subcampo de $\mathbb R$ con esta propiedad. Podemos añadir un elemento de $\mathbb R$ no en este subcampo, consiguiendo una mayor contables de campo, a continuación, repita, conseguir una cantidad no numerable de campos con esta propiedad

También podemos hacer que los campos más grandes de $\mathbb R$ con esta propiedad - la no estándar de reales para cualquier ultrafilter proporcionará un ejemplo.

La pregunta más obvia de este tipo de retirada de estiércol sobre la no respuesta es si hay una desordenada de campo con esta propiedad. Claramente todas las exponenciales son cuadrados perfectos, y viceversa. Así que la pregunta es, esencialmente, si la suma de dos exponenciales debe ser una exponencial.

Answer 3

He aquí otro unorderable ejemplo.

Considere la posibilidad de modelos no estándar; deje $p$ ser un infinito primer tales que $(p-1)/2$ es relativamente primos para cada estándar prime, y deje $F$ ser la interna del campo finito $\mathbf{F}_p$. El aditivo grupo cíclico de orden $p$ y el grupo multiplicativo es el producto de $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ y el grupo cíclico de orden $(p-1)/2$.

Por el teorema de los cuatro cuadrados, este campo tiene elementos $a,b,c,d$ tal que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \equiv -1 \pmod{p}$.

Visto externamente, el grupo aditivo y el multiplicativo grupo de cuadrados son exclusivamente divisible abelian grupos de la misma cardinalidad, y suponiendo que podemos arreglar para que la cardinalidad de no ser patológico, llegamos a la conclusión de que $F_+ \cong F_\times \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$.

Además, desde el $-1$ es una suma de cuadrados, $F$ no puede ser ordenado.

Answer 4

Yo creo que se puede construir un unorderable ejemplo de la siguiente manera.

Deje $E$ a ser el campo de la real edificable números. Por un lado, la única raíces de la unidad en la $E$ se $\pm1$. Por otro lado, si $\zeta_n$ denota una raíz primitiva de $1$, la extensión de $E(i,\zeta_n)/E(i)$ es abelian y no tiene subextension de grado 2, por lo tanto $[E(i,\zeta_n):E(i)]$ es impar.

Deje $F$ ser un unorderable extensión de $E$ sin raíces de la unidad, además de $\pm1$ (por ejemplo, la fracción de campo de $E[x,y]/(x^2+y^2+1)$), y deje $K$ ser una máxima extensión algebraica de $F$ con respecto a esta propiedad. Tenemos que mostrar que todos los $a\in K$ tiene un $p$th raíz en $K$ por cada impar prime $p$, e $a$ o $-a$ tiene una raíz cuadrada.

Recordemos que para el prime $p$, un polinomio $x^p-a$, $a\in K$, es irreducible o tiene una raíz en $K$. [Sus raíces se $\alpha,\alpha\zeta_p,\dots,\alpha\zeta_p^{p-1}$, por lo tanto el coeficiente constante de su adecuada factor sería de la forma $\alpha^d\zeta_p^i\in K$ para algunos $0<d<p$ e $i$; como $(p,d)=1$ e $\alpha^p\in K$, esto implica $\alpha\zeta_p^j\in K$ para algunos $j$.]

Me dicen que si $p$ es impar, $x^p-a$ tiene una raíz en $K$. Si no, entonces la extensión de $K(\alpha)$, $\alpha^p=a$, contiene una raíz de la unidad $\zeta_n\ne\pm1$. Por la mencionada propiedad, $[K(\alpha):K]=p$ es primo, por lo tanto $K(\alpha)=K(\zeta_n)$ es un cyclotomic extensión, y por lo tanto normal. Pero, a continuación, contiene los conjugados de la $\alpha$, y, en particular, $\zeta_p$; sin embargo, $[K(\zeta_p):K]<p$, por lo tanto $\zeta_p\in K$, una contradicción.

Segundo, asumir que $\alpha=\sqrt a\notin K$. A continuación, $K(\alpha)=K(\zeta_n)$ para algunos $n>2$. Desde $[K(\zeta_n):K]=2$, $[K(\zeta_n,i):K(\zeta_n)]\le2$, $[K(i):K]=2$, y $[K(\zeta_n,i):K(i)]$ es impar, debemos tener $i\in K(\zeta_n)$, es decir, $K(\alpha)=K(i)$. Escrito $\alpha=u+iv$ con $u,v\in K$, tenemos $u^2-v^2=a$ e $2uv=0$. Como $v\ne0$, obtenemos $u=0$ e $v^2=-a$, es decir, $\sqrt{-a}\in K$.