¿Cómo son los motivos relacionados con la anabelian de la geometría y de Galois-Teichmuller teoría?

Question

En Recoltes et Semailles, Grothendieck observaciones que la teoría de los motivos relacionados con la anabelian de la geometría y de Galois-Teichmuller teoría. Mi comprensión de estos temas no es muy sólido en este momento, pero esto es lo que yo entiendo:

Anabelian la geometría trata de preguntar cuánto la información acerca de una variedad está contenida en su etale grupo fundamental. En particular, existen "anabelian variedades", que debe estar totalmente determinado por la etale grupo fundamental (hasta el isomorfismo). La determinación de estos anabelian variedades está actualmente en curso.

Galois-Teichmuller teoría intenta entender la absoluta grupo de Galois $\text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ en términos de los automorfismos de la "Teichmuller de la torre", que se construye como sigue. Comenzamos con los módulos de pilas de curvas con el género $g$ e $\nu$ puntos marcados. Estos módulos de pilas $\mathcal{M}_{g,\nu}$ han homomorphisms a cada uno de los otros, que corresponden a "borrar" puntos marcados y "pegar". La torre de Teichmuller $\hat{T}_{g,\nu}$ viene de la profinite fundamental groupoids de estos módulos de pilas.

La teoría de los motivos es una especie de "universal cohomology de la teoría" en el sentido de que cualquier Weil cohomology teoría (que es un functor de suave proyectiva variedades con diferentes álgebras de más de un campo) factores a través de ella. Este se obtiene a partir de un cierto proceso de "linealización" de variedades algebraicas (teniendo en cuenta las correspondencias como morfismos, seguido por el proceso de "pasar a la pseudo-abelian envolvente", y que, formalmente, la inversión de la Lefschetz motivo).

Relacionados con la teoría de los motivos es el concepto de un Tannakian categoría, que establece una especie de mayores dimensiones análogo de la teoría de Galois. Creo que la categoría de los motivos que se cree para ser un Tannakian categoría, a través de Grothendieck estándar de conjeturas sobre algebraica de los ciclos (por favor corríjanme si estoy equivocado acerca de esto).

Así que supongo Tannakian categorías puede proporcionar el enlace entre la teoría de los motivos y anabelian de la geometría y de Galois-Teichmuller teoría (que están relacionados con la teoría de Galois) que Grothendieck estaba hablando en Recoltes et Semailles, pero no estoy realmente seguro. De cualquier manera, las ideas no son todavía muy claro para mí, y me gustaría entender las conexiones de manera más explícita.

Answer 1

Dos aclaraciones:

Para anabelian geometría, usted debe preguntar a la cantidad de información sobre una variedad contenida en el Galois de acción en su etale grupo fundamental.

Si bien es cierto que la motivic grupo de Galois es una de mayores dimensiones analógica del grupo de Galois, también debe ser cierto que los motivos son "sólo" un tipo especial de Galois de la representación, es decir, en la Tate conjetura de la $\ell$-ádico realización functor debe dar un fiel functor de los motivos a $\ell$-ádico representaciones de Galois, por lo que la categoría de los motivos es la categoría de representaciones de Galois con algunas restricciones impuestas a los objetos y morfismos.

Por supuesto, estas restricciones son altamente no trivial. Sólo para el irreductible de representaciones de Galois tenemos una buena conjetural descripción de los que vienen de motivos, a través de la Fontaine-Mazur conjetura.

Así que podemos ver que todos los 3 de estos se refieren a Galois acciones - los dos primeros de Galois de las acciones fundamentales de los grupos, y la última a Galois acciones en $\ell$-ádico espacios vectoriales. Sin embargo, Galois acciones se utilizan de diferentes maneras en los tres. Pensando en los tres conceptos, puede ser llevado a preguntas como estas:

• Podemos construir representaciones de Galois de la Galois acción en el grupo fundamental de una curva? (este sería el primer paso en la relación con los motivos para anabelian geometría)

• Hacer estas Galois representaciones surgen de los motivos? (este sería el segundo paso)

• Son estos motivos relacionados con la geometría de una curva? (buscando una conexión más profunda con anabelian geometría)

• Puede la clase de los motivos que se deriven de esta manera ser utilizados para construir o describir la motivic grupo de Galois? (ahora traemos en Grothendieck-Teichmuller teoría)

Creo que estas preguntas, al menos, toque en el comienzo de lo que Grothendieck estaba pensando.

Desde Grothendieck, la gente tiene muy estudiado estas cuestiones, principalmente en el caso de unipotentes cocientes de el grupo fundamental, comenzando con el papel de Deligne en el grupo fundamental de la proyectiva de la línea de menos de tres puntos. Creo que es justo decir que la respuesta a todas estas preguntas es sí, con el más grande de advertencia para la última pregunta - creo que podemos entender cierto tipo muy especial de los cocientes de la motivic grupo de Galois de esta manera, pero no creo que nadie tiene una estrategia para la construcción de la totalidad de la cosa.

La historia va algo como esto:

Deligne miró a la máxima pro-$\ell$ cociente de la geometría del grupo fundamental de la proyectiva de la línea de menos de tres puntos. Esta es, naturalmente, una $\ell$-ádico de la analítica de grupo, y tiene un álgebra de la Mentira, que es una $\ell$-ádico de la representación, y admite una acción del grupo de Galois. Se supone que esta es la $\ell$-ádico realización de un motivo, y Deligne trabajado para encontrar otras realizaciones, incluyendo la teoría de Hodge. Esta es una mezcla motivo, no un puro motivo, por lo que no se construye directamente a partir de alinear variedades algebraicas.

Todos los motivos que generan esta manera se mezclan Tate motivos, yo.e las extensiones de los poderes de la Tate motivo (la inversa de la Lefschetz motivo), y están en todas partes unramified. Se puede definir el Tannakian categoría de todas partes unramified mixto Tate motivos, y el Tannakian fundamental del grupo es conocido a pedir fielmente en el límite de estas unipotentes terminaciones.

Answer 2

Hay una conexión muy profunda entre los motivos y el Grothendieck-Teichmüller teoría, pero no está bien entendido todavía. Ni siquiera puedo marco, precisamente, en el más alto nivel de género, pero al menos puedo marco preciso de la conjetura en el género cero. Tiene que ver con los motivos que están conectados a los períodos de módulos de espacios, por un lado, y de Grothendieck-Teichmüller estar conectado a automorfismos fundamentales de los grupos de módulos de espacios en el otro.

Así, por un lado, tenemos la Tannakian categoría $MTM$ de la mezcla Tate motivos más Z. Goncharov y Manin dio una construcción que muestra cómo construir motivic múltiples valores zeta de la cohomology de los espacios de moduli $M_{0,n}$ de género cero curvas con $n$ puntos marcados, dando lugar a un Tannakian subcategoría de MTM, y F. Brown posteriormente se demuestre que la motivic múltiples zeta categoría realmente lo llena todo de $MTM$. Tomar la Tannakian grupo fundamental de esta categoría $MTM$, y tomar su (pro)-unipotentes radical. El asociado gradual Mentira álgebra es conocido por ser libremente generada por un generador en cada impar de peso.

Ahora en la otra mano, tome la Grothendieck-Teichmüller grupo, que puede ser identificado con el exterior automorphism grupo de la torre de todos los grupos fundamentales de los espacios de moduli $M_{0,n}$ que se desplazan (hasta el interior de automorfismos) con ciertos mapas estándar entre estas fundamental grupos provenientes de borrado de puntos o del subsuelo de la inclusión (o duplicación de la trenza de hilos, si te gusta pensar de que el grupo fundamental de la $M_{0,n}$ como una trenza de grupo). Esto es a priori un profinite grupo, pero tiene un pro-unipotentes versión, que tiene asociada una Mentira álgebra que es isomorfo a el graduado de Grothendieck-Teichmüller Mentira álgebra $grt$ definido por tres relaciones que son exactamente aditivo análogos de los tres que define las relaciones en el profinite grupo.

Gracias al resultado de que "la motivic multizeta valores satisfacer el asociador de relaciones", junto con el Marrón del resultado, podemos deducir que la Tannakian fundamentales de álgebra de la Mentira de $MTM$ inyecta en la Grothendieck-Teichmüller Mentira álgebra $grt$. El importante conjetura es que estos dos álgebras de Lie son iguales, aunque uno de ellos surge de una motivic de la construcción que, por un lado, "levanta" los números reales (el real multizeta valores, que son los periodos de los espacios de moduli $M_{0,n}$ a la mezcla de Tate motivos, que a continuación, gire para generar el pleno de la categoría de mixtos de la Tate motivos, y la otra surge de la automorphism grupo de los grupos fundamentales de los espacios de moduli $M_{0,n}$.

Esta respuesta no es disjunta de la Voluntad Sawin la respuesta anterior, pero se expresa de manera diferente.

Answer 3

Usted debe mirar Motivic aspectos de Anabelian geometría. Una, Schmidt. No, no es una reformulación de la pregunta de Anabelian la geometría utilizando Voevodsky del Motivic Homotopy teoría.