¿Cuál es el objetivo principal de aprender sobre diferentes espacios, como Hilbert, Banach, etc.?

Question

Acabo de empezar a aprender sobre el análisis funcional y he empezado a aprender sobre varios espacios, como $L^{p}$ , Banach y los espacios de Hilbert. Sin embargo, ahora mismo mi comprensión es más bien mecánico . Es decir, lo que yo entiendo por ejemplo del espacio de Hilbert es que es un espacio vectorial con un producto interior tal que la norma definida por él se convierte en un espacio métrico completo. Además, que generalmente los espacios vectoriales cumplen ciertos criterios. Por lo tanto, mi comprensión no está motivada por el hecho de que se definan de cierta manera.

¿Hay alguna razón por la que ciertos espacios vectoriales se definen de la forma en que lo hacen? ¿Qué hay en los espacios vectoriales que tienen ciertas propiedades que los hacen atractivos para su estudio? ¿Nos permite hacer ciertas cosas en los espacios que hace que debamos utilizarlos? Perdonad si mi comprensión es bastante débil, acabo de empezar a aprender espacios más avanzados desde un punto de vista puramente matemático y me ha costado mucho obtener una respuesta de los profesores. En resumen, ahora mismo parece que alguien acaba de dar un montón de condiciones al azar para definir ciertos espacios vectoriales y realmente no tengo ni idea de por qué lo definieron así, y por qué no se podría definir con otras condiciones.

Answer 1

$L^2$ Los espacios de funciones surgieron a partir de la identidad de Parseval para la serie de Fourier, identidad que se conocía a finales de 1700: $$ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2}a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2+b_n^2, $$ donde la serie de Fourier para $f$ es $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx). $$ Que establecen una conexión entre las funciones cuadradas integrables y un espacio euclidiano de dimensiones infinitas con sumas de cuadrados de coordenadas. Al principio no se le dio mucha importancia a esta conexión. La desigualdad Cauchy-Schwarz para espacios complejos no sería enunciada por Cauchy hasta dentro de un par de décadas (Schwarz no estaba vinculado a la desigualdad original que llevaba el nombre de Cauchy, sólo Cauchy). Entre medias, Fourier comenzó sus trabajos sobre la conducción del calor, la separación de variables y las expansiones ortogonales más generales derivadas de estos métodos. Pasaron décadas antes de que, alrededor de 1850-1860, Schwarz publicara un trabajo sobre soluciones de problemas de minimización en el que derivaba la desigualdad Cauchy-Schwarz para integrales, y se dio cuenta de que la desigualdad daba la desigualdad del triángulo. Surgía un nuevo concepto de distancia y convergencia.

En las décadas siguientes, estas ideas llevaron a los matemáticos a considerar las funciones como puntos en un espacio con distancia y geometría impuestas a través de normas y productos internos. Fue una abstracción que cambió el juego. Durante este periodo de abstracción, se definió por primera vez un número real de forma rigurosa, después de aproximadamente 24 siglos de intentar dar sentido a la irracionalidad. Se descubrió la compacidad y se abstrajo a conjuntos de funciones mediante la equicontinuidad. Las ideas de Fourier se enmarcaban en el contexto de las nuevas y rigurosas matemáticas. Riemann desarrolló su integral y, a principios de 1900, Lebesgue definió su integral, ambos con el objetivo declarado de estudiar la convergencia de las series de Fourier.

Cantor, Hilbert y muchos otros estaban sentando las bases rigurosas y lógicas de las matemáticas, y Hilbert abstrajo la serie de Fourier para considerar $\ell^2$ como una generalización dimensional infnita del espacio euclidiano. La topología se estaba creando a través de la métrica abstracta y luego a través de los axiomas de vecindad en la nueva teoría de conjuntos. Los espacios de funciones estaban ahora de moda, con $\ell^2$ , $L^2$ liderando el camino. A principios de esta evolución del siglo XX, uno de los hermanos Riesz estudió los funcionales lineales continuos en $C[a,b]$ y representarlos como integrales. La idea de la continuidad de las funciones estaba siendo explorada. Nació el Análisis Funcional, y hubo un impulso para explorar los espacios de funciones abstractas. La representación de funciones estaba a la orden del día. $L^p$ fue una abstracción natural que cimentó la idea de que lo dual debía estar separado y ser distinto del espacio orignal. Hahn y Banach descubrieron cómo extender los funcionales lineales continuos. Antes de este período, a principios del siglo XX, no existía la distinción entre un espacio y un dual. $L^p$ de los espacios se convirtió en una parte importante de la desvinculación del espacio y su dualidad, y en proporcionar pruebas convincentes de que era necesario hacerlo.

Luego hubo un movimiento hacia los operadores abstractos, con Hilbert y von Neumann a la cabeza. Cuando llegó la Mecánica Cuántica, todas las piezas estaban en su sitio para poder sentar las bases de la Mecánica Cuántica. Hilbert ya había estudiado los operadores simétricos. El espectro de los operadores se definió mucho antes de que se comprendiera que los operadores encajaban perfectamente en la Cuántica, donde más tarde se descubrió que el espectro del matemático era en realidad el espectro de la Física. von Neumann había demostrado el Teorema Espectral para los operadores autoadjuntos.

Las ideas topológicas abstraídas de la convergencia, las álgebras de operadores, las funciones, etc., desencadenan un hongo de pensamiento, que contribuye a conducir a otros hongos.

Answer 2

No estoy en esta área pero puedo decirte que el tema principal aquí es la aplicación de este tipo de Matemáticas a la Mecánica Cuántica. De hecho, aunque Hilbert no empezó a estudiar el argumento con esto en mente, pronto se descubrió que esta rama de la matemática era realmente adecuada para modelizar los fenómenos cuánticos.

De hecho, lo que ocurrió es que poco después de los trabajos de Hilbert este aparato se hizo absolutamente necesario incluso para formular un problema mecánico cuántico en el marco de Heisenberg-Von Neumann. En efecto, Heisenberg y otros formularon algunos axiomas que estaban en el corazón de la QM, es decir

1. a Sistema Quantum es un espacio de Hilbert separable;
2. el observables (es decir, las cantidades que se pueden observar) son operadores autoadjuntos en ese espacio;
3. -si no somos tan exigentes- el afirma en el que se encuentra el sistema son los vectores del espacio hilbert; etc.

Ahora bien, ¿no podríamos simplemente aprender sobre los espacios de Hilbert y olvidarnos de todo lo demás? En realidad no, por pocas razones. Una de ellas es que, efectivamente, podemos reformular los axiomas de Heisenberg de una forma ligeramente general que es la Von Neumann marco de las álgebras C*. En este marco no se requiere que el espacio sea un espacio de Hilbert, sino sólo que sea un espacio de Banach (es decir, con una norma y no un producto interno) tal que la norma se comporte bien con la involución o *. Así que conocer los espacios de Banach sería claramente importante en este marco.

Pero incluso si eres un tipo más práctico y sólo quieres calcular algunos espectros de algunos operadores, pronto te darás cuenta de que los operadores se comportan de manera muy diferente dependiendo del espacio en el que se definen. Un ejemplo clásico podría ser el operador de momento, que puede ser simétrico, adjunto, esencialmente autoadjunto, y que sólo cambia algunas condiciones en los extremos de un intervalo.

¿Pero a quién le importa si este operador es autoadjunto o no? Bueno, desafortunadamente te importa porque un operador (es decir, un cantidad física ) es un observable con espectro real (es decir, da un resultado físico ) si y sólo si es autoadjunto (lo que significa que si no es autoadjunto quieres ser capaz de calcular los resultados de tus experimentos). Por lo tanto, es posible que desee variar su conjunto de definición y tal vez incluso su espacio de Hilbert para obtener algo donde su operador se comporta bien y tal vez incluso autoadjunto. En este proceso que va a Espacios de Sobolev , $L^2$ (algo), etc. de acuerdo con sus necesidades es un procedimiento cotidiano y por lo tanto probablemente necesitará saber lo que está haciendo si quiere esperar tener algún resultado.

Pero eso no es todo: dado que también puedes querer aplicar dos observables (por ejemplo, posición y momento) uno tras otro, puedes querer introducir un espacio en el que puedas hacerlo sin perder toda propiedad autoadjunta. Así que lo que haces es definir un espacio de Schwartz y utilizar este espacio en lugar de tu primer espacio de Hilbert. Y así sucesivamente.

De hecho, todo lo que se desarrolló en este campo no fue en absoluto especulativo y se centró realmente en problemas cotidianos efectivos. Por ejemplo, la introducción de separable espacios de Hilbert es porque se quiere una base ortonormal en él como en los antiguos espacios vectoriales, o la introducción de operadores de la clase de seguimiento , medidas con valor de proyección etc... De hecho, todo aquí fue desarrollado de la manera correcta para trabajar.

Es como conducir un coche desarrollado por un millón de ingenieros de talla mundial que han trabajado en el mismo coche durante más o menos 100 años recorriendo todo tipo de carreteras en todo tipo de lugares. Está claro que todo tiene su razón de ser y no siempre es inmediato entender por qué algunas cosas son como son hasta que te encuentras en un lugar en el que nunca has estado y entonces entiendes de repente a qué se debe el botón rojo que tenías siempre a tu derecha.