Llegué a esta pregunta con la esperanza de aprender más, pero puedo grabar lo que he aprendido. Me parece el Cartier operador mucho más natural en un contexto más amplio. Esta es una combinación de material de Brion y Kumar del libro, en la Sección I. 3, y cosas que he visto afirmó en papeles y trabajado por mi cuenta. Por supuesto, hay un riesgo de que esto está mal.$\def\cF{\mathcal{F}}$ $\def\cC{\mathcal{C}}$
Notación: Vamos a $k$ ser un perfecto campo de la característica $p$ e $A$ a $k$-álgebra. Deje $\Omega^r$ ser $r$-th cuña poder de la Kahler diferenciales de $A/k$. Deje $Z^r = \mathrm{Ker}(d: \Omega^r \to \Omega^{r+1})$ (la de Rham co-ciclos) y $B^r = \mathrm{Im}(d: \Omega^{r-1} \to \Omega^r)$ (la de Rham co-límites). Deje $H^r = Z^r/B^r$. Deje $A^p$ denotar el anillo de $p$-th poderes en $A$. Tenga en cuenta que $d$ es un mapa de $A^p$ módulos y por lo tanto $Z^r$, $B^r$ y $H^r$ son todos los $A^p$ módulos.
La inversa de la de Cartier operador es más básico que el de Cartier operador.
Teorema Existe un único mapa $\cF: \Omega^r \to H^r$ tal que
$\cF(f) = f^p$ para $f \in \Omega^0 = A$.
$\cF(\alpha+\beta) = \cF(\alpha)+\cF(\beta)$.
$\cF(d u) = u^{p-1} du$ para $u \in A$.
$\cF(\alpha \wedge \beta) = \cF(\alpha) \wedge \cF(\beta)$.
La única parte difícil de comprobar es que el $(u+v)^{p-1} (du+dv)$ es equivalente a $u^{p-1} du+ v^{p-1} dv$ modulo $B^1$. Para este fin, se nota que
$$(u+v)^{p-1} (du+dv) - u^{p-1} du - v^{p-1} dv = d \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{p} \binom{p}{k} d(u^k v^{p-k}). \quad (\ast)$$
Aquí $\frac{1}{p} \binom{p}{k}$ debe ser interpretado como un número entero que podemos reducir el modulo $p$ hacer un elemento de $k$. (Moralmente, la ecuación de $(\ast)$ proviene de la relación $d(u+v)^p = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} d(u^k v^{p-k})$. No podemos deducir $(\ast)$ directamente desde este porque no se puede dividir por $p$, pero $(\ast)$ sigue siendo cierto en el carácter $p$.)
Si $A$ tiene un nivel suficientemente agradable deformación $\tilde{A}$ sobre el anillo de vectores de Witt $W(k)$, e $F: \tilde{A} \to \tilde{A}$ es un ascensor de Frobenius, a continuación, $\cF$ para $\omega \in \Omega^r$ está dada por la reducción del modulo $p$ de % de$\frac{1}{p^r} (F^{\ast})^r \omega$. No sé exactamente lo "suficientemente bueno" significa, sino $\tilde{A}$ suave sobre la $W(k)$ es, sin duda suficiente. Esta es mi forma favorita de pensar de $\cF$.
$\cF$ aspectos de localización, y por lo tanto tiene sentido en los esquemas. También respeta etale extensión y terminación, para aquellos que prefieren otras topologías.
Ahora tenemos el Teorema I. 3.4 en Brion y Kumar (es de suponer que no son originales, pero no los cita): Si $A$ es regular, de $\cF$ es un isomorfismo $\Omega^{\bullet} \to H^{\bullet}$. Prueba de dibujo: La demanda es que un mapa de finitely generadas $A^p$ módulos es un isomorfismo; esto puede comprobarse en las terminaciones. Así que se reduce a probar que la demanda en una potencia de la serie algebra. Esta es una combinatoria ejercicio, muy similar a la prueba del lema de Poincaré para poder formal de la serie de característica cero.
Tenga en cuenta que esto es muy interesante, incluso para $r=0$: dice que $df=0$ para $f \in A$ si y sólo si $f$ es $p$-ésima potencia.
Para $A$ regular, el Cartier operador $\cC: H^{\bullet} \to \Omega^{\bullet}$ es la inversa de a $\cF$.
En particular, si $A$ regular dimensión de $1$, entonces podemos tomar la composición de la $\Omega^1 \to H^1 \to \Omega^1$ para obtener la definición que dio.
$\cC$ en una curva es análoga a la de residuos en varios sentidos:
Es la composición de $\Omega^1 \to H^1$ y un isomorfismo entre el $H^1$ y un libre explícito $H^0$-módulo de rango $1$. En el caso de los residuos, que trabajan en el Laurent de la serie ring $k((x))$, tenemos $H^0 = k$ y tenemos un isomorfismo canónico $H^1 \cong k$; el residuo mapa es $\Omega^1 \to H^1 \to k$. En el Cartier caso, $H^0 = A^p$ e $H^1$ es un servicio gratuito de $A^p$-módulo de rango $1$. No tiene un canónica generador, pero lo que usted puede hacer canónicamente es el uso de $\cC$ activar $A^p$ a $A$ e $H^1$ a $\Omega^1$.
Tenemos $\cC(df) = 0$ e $\cC(du/u) = du/u$, para $u$ una unidad de $A$.
Concretamente, $\mathrm{res}(\cC(\omega)) = \mathrm{res}(\omega)^{1/p}$.
