¿El conjunto de números happy tiene una densidad de la limitación?

Question

Un entero positivo $n$ se dice que para ser feliz si la secuencia $$n, s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), \ldots$$ finalmente llega a 1, donde: $s(n)$ denota la suma de los cuadrados de los dígitos de $n$.

Por ejemplo, 7 es feliz porque la órbita de 7 bajo esta asignación llega a 1. $$7 \to 49 \to 97 \to 130 \to 10 \to 1$$ Pero el 4 no es feliz, porque la órbita de 4 es un bucle infinito que no contienen 1. $$4 \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4 \to \ldots$$

Me han tabulado los felices números de hasta el $10^{10000}$, y parece que tienen una limitación de la densidad, aunque la tasa de convergencia es lenta. Se sabe si el feliz números, de hecho tienen una densidad de la limitación? En otras palabras, ¿el $\lim_{n\to\infty} h(n)/n$ existen, donde la $h(n)$ indica el número de feliz números de menos de $n$?

Answer 1

La respuesta es casi seguro que la densidad de la limitación no existe. Sin entrar en los detalles de la prueba que me permiten dar una heurística argumento que se basa en cómo el OP probable que generó su gráfico de la frecuencia relativa de feliz números.

Deje $Y_n$ ser la r.v. distribuidos de manera uniforme entre los números enteros en el intervalo de $[0,10^n -1]$ (que es $Y_n$ elige una al azar $n$-dígito entero). Si $X_i$ denota la r.v. para el dígito de $10^i$ en $Y_n$,, a continuación,$s(Y_n) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} s(X_i)$.

Supongo que la forma en que se genera el gráfico era la primera vez calculada la distribución de $s(Y_n)$ (esto se puede hacer de forma recursiva), a continuación, calculadas $\mathbb{P}\big(s(Y_n) \text{ is happy}\big)$. Esto daría a la densidad relativa de feliz números de entre todos los $n$ dígitos enteros.

El estudio de la distribución de $s(Y_n)$ nos puede decir mucho. Su equivalente a rodar $n$ veces un 10 colindado mueren con caras $0,1,4,\dots, 81$ y la búsqueda de la suma. Su distribución es Gaussiana como $n$ se hace grande por el teorema del límite central. Lo que es más importante la mayor parte de la distribución se concentra cerca de la media, que es $28.5n$. Esto implica que la densidad feliz números de entre todos los $n$dígitos enteros depende casi exclusivamente de la distribución de los números happy cerca de $28.5n$.

Por ejemplo, hay un pico en el gráfico a alrededor de $n = 400$ acerca de $.185$ densidad. El cálculo de la densidad de feliz números dentro de una desviación estándar de la media de $s(Y_{400})$ obtenemos una densidad de .1911 (el intervalo miré a se $[10916,11884]$). Si asumimos $s(Y_{400})$ es "exactamente" normalmente distribuida y se estimó la densidad de esta manera se podría obtener una mejor aproximación.

Esto significa recoger $n$ s.t. la media de $s(Y_n)$ tierras en el intervalo de $[10^{400},10^{401}-1]$, entonces la densidad de feliz números entre $n$dígitos enteros debe ser de alrededor de $.185$. Probablemente algunas de las opciones de $n$ le dará densidades estrictamente mayor que $.185$ y algunos estrictamente menor. Esto me ha llevado a sospechar que por recorrer en este proceso, la parte superior de la densidad de feliz números pueden ser $1$, y una baja densidad de $0$.

El artículo de Joe Silverman mencionados son de mi propiedad. En ella intento dar por encima de la heurística de un riguroso fundación. Todavía es un borrador y que solo ha sido revisado por uno de mis estudiantes de posgrado, por lo que no voy a decir que es sin duda correcto, aunque estoy muy seguro de que es. He estado trabajando en él durante las últimas semanas, al ver tu pregunta en MO me decidí a seguir adelante y subir un borrador. En el uso que tengo un promedio de argumento para decir que si usted se encuentra experimentalmente un gran intervalo de $n$dígitos enteros ($n$ suficientemente grande) que contienen números happy con la densidad de $d$, entonces la parte superior de la densidad de los números happy es, al menos,$d(1 - o(1))$. Que es donde la parte superior de la densidad de $\geq .18$ y menor densidad de $ \leq .12$ proviene.

Answer 2

Empecé a trabajar en esta pregunta después de que fue enviado a MathOverflow y encontrar los límites similares a los encontrados por Justin Gilmer: superior asintótica de la densidad de los números happy 0.1962 o mayor, menor densidad asintótica no más de 0.1217. Sin embargo, también era capaz de demostrar que la parte superior asintótica de la densidad de los números happy no era más que un 0,38; Gilmer menciona en su documento que la cuestión de si la parte superior asintótica de la densidad fue de menos de 1 aún estaba abierta.

Una valoración crítica de los resultados en http://djm.cc/dmoews/happy.zip. El método utilizado para encontrar un límite superior en la parte superior asintótica de la densidad era empezar con un número aleatorio con expansión decimal $??\dots{}??\hbox{\#}\hbox{\#}\dots{}\hbox{\#}\hbox{\#}$, donde los dígitos # son independientes y distribuidas de manera uniforme, y los dígitos ? son arbitrariamente distribuidos y puede depender el uno del otro, pero son independientes de la #s. Luego, si no se $n$ #s, normalidad asintótica implica que después de aplicar el $s$, se obtiene una mezcla de lo traduce de una distribución que es aproximadamente normal, con una media de $28.5n$ y la desviación estándar proporcional a $\sqrt{n}$. Si $10^{n'}/\sqrt{n}$ es lo suficientemente pequeño, cada uno de traducir de esta distribución normal tendrá su última $n'$ dígitos aproximadamente distribuidas de manera uniforme, por lo que obtener un número aleatorio que puede ser aproximada por la misma forma de decimal expansión empezamos con $??\dots{}??\hbox{\#}\hbox{\#}\dots{}\hbox{\#}\hbox{\#}$, donde ahora hay $n'$ dígitos #. Repetir esto a la larga nos lleva a números lo suficientemente pequeño para caber en un equipo.

El método utilizado para encontrar los límites similares a Gilmer fue comenzar con un número aleatorio de la forma $dd\dots{}dd??\dots{}??\hbox{\#}\hbox{\#}\dots{}\hbox{\#}\hbox{\#}$, donde el ?s y #s son como antes, el $d$s se fija de dígitos, y hay el mismo número de $d$s e #s, pero muy pocos ?s. Entonces, si los parámetros son seleccionados adecuadamente, podemos demostrar que después de aplicar el $s$, se vuelve a obtener un número aleatorio que puede ser aproximada por la misma forma de expansión decimal, $dd\dots{}dd??\dots{}??\hbox{\#}\hbox{\#}\dots{}\hbox{\#}\hbox{\#}$, y repita este paso hasta que el número es pequeño.

Answer 3

Helen Grundman ha escrito una serie de artículos acerca de la felicidad de los números. (La primera vez que escuché de ellos en una charla suya en un JMM.) Referencias de sus artículos se enumeran a continuación. No sé si hablar de densidades. Se puede ver también el feliz números a otras bases, por supuesto. De acuerdo a Wikipedia: "El origen de los números happy no está claro. Feliz números fueron traídos a la atención de Reg Allenby (un autor Británico y Profesor en matemática pura en la Universidad de Leeds) por su hija, que había aprendido de ellos en la escuela. Sin embargo, ellos pueden tener su origen en Rusia'."

Para responder a Ricky de Vacaciones de la pregunta, sí, es fácilmente decidable, ya que si $N$ es lo suficientemente grande, entonces es fácil ver que $s(N)$ es mucho menor que $N$. Más precisamente, $s(N)\le 81*\lceil\log_{10}(N)\rceil$. Así que rápidamente se mete en y se mantiene dentro de un acotado rango, después de lo cual uno puede comprobar si la secuencia de ciclos a 1, o de alguna otra manera.

• MR2382633 (2008m:11020) Grundman, H. G. ; Teeple, E. A. Secuencias de consecutivos feliz números. Rocky Mountain J. Math. 37 (2007), no. 6, 1905--1916.
• MR2285991 (2007i:11016) Grundman, H. G. ; Teeple, E. A. Secuencias de la generalizada feliz números con bases pequeñas. J. Entero Seq. 10 (2007), no. 1, Artículo 07.1.8, 6 pp. (electrónica).
• MR2022409 Grundman, H. G. ; Teeple, E. A. Alturas de feliz números y cúbicas de números happy. Fibonacci Cuarto De Galón. 41 (2003), no. 4, 301--306.
• MR1866364 (2002h:11010) Grundman, H. G. ; Teeple, E. A. Generalizada feliz números. Fibonacci Cuarto De Galón. 39 (2001), no. 5, 462--466.

Añadido el 18 de octubre de 2011: Una relevante ArXiv post acaban de aparecer En la Densidad de los Números Happy, Justin Gilmer, http://arxiv.org/abs/1110.3836. El autor demuestra que los "felices los números tienen superior de densidad, $\geq .18$ y menor densidad de $\leq .12$."

Answer 4

Hombre, los Problemas sin resolver En la Teoría de números, 3ª edición, problema E34, escribe, "parece que alrededor de 1/7 de todos los números son felices, pero ¿qué límites en la densidad puede ser demostrado?" Él no da una respuesta, así que supongo que nada era conocido como de la publicación del libro. Helen Grundman ha escrito varios artículos sobre el feliz números, tal vez usted podría preguntarle.