Demostrar matemáticamente que una ronda de giro de la rueda más rápido que una rueda cuadrada

Question

Digamos que tengo estos igualdad de tamaño de los objetos (por ahora pensar en 2D) sobre una superficie plana.

En el centro de los objetos que añadir la misma positivo de torque angular (sólo lo suficiente para hacer la plaza de los neumáticos para avanzar).

Por supuesto, la ronda de los neumáticos se mueven más rápido adelante e incluso acelerar (supongo). Pero, ¿cómo puedo mathematicaly demostrar/cómo medir mejor la ronda de los neumáticos va a realizar?

Esto para mi simulador avanzado en el que estoy trabajando y yo no quiero Especificar que las rondas de rollos mejor, plaza peor, etc.

Sé que la respuesta podría ser muy complejo, pero soy todo tuyo.

Answer 1

Centro de Masa

El centro de masa de una esfera uniforme/disco se encuentra en el centro de esa esfera/disco (esto puede sonar trivial, pero esto sólo es cierto para los casos en donde la distribución de la masa es esféricamente simétrica). El centro de masa puede ser visto como una representación colectiva de todo el cuerpo, por un solo punto (tenga en cuenta que esto no es estrictamente cierto, pero para nuestros propósitos, que le ayudará en la construcción de algunos conceptos básicos de la intuición). Del mismo modo, el centro de masa de un uniforme de cubo/plaza de la placa está en el centro del cubo/placa cuadrada.

La Energía Potencial Gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de un objeto está dada por

$$U=mg(h_{\text{COM}})\tag{1}$$

donde $m$ es la masa del cuerpo, $g$ es la aceleración de la gravedad y $h_{\text{COM}}$ es la altura del centro de masa. En la ecuación de $(1)$, hemos asumido la energía potencial de ser $0$ a nivel del suelo es decir $h_{\text{COM}}=0$. Ahora, para levantar un cuerpo de tal forma que su centro de masa se mueve a formar una altura de $h_1$ a una altura de $h_2$, tenemos que hacer algo de trabajo que es igual al cambio en el cuerpo de la energía potencial:

$$W=\Delta U=mg(h_2-h_1)$$

Rolling Plaza

Como se puede ver en el GIF de abajo, los rolling plaza tiene una especie de ondulación de movimiento de rotación. Inestable, en el sentido de que su centro de masa sube y baja, sube y baja, y en un sobre.

^{Animación de origen}

Así como se calculó anteriormente, tenemos que hacer algo de trabajo para elevar la altura de la plaza del centro de masa. Y una vez que el centro de masa alcanza la altura máxima, que luego cae hacia el otro lado por su propia cuenta y la energía cinética adquirida por la plaza durante el otoño se presenta disipado como el sonido y el calor de la energía debido a la inelástica de la naturaleza de la colisión de la plaza con el suelo. Ahora bien, usted podría tener de nuevo a levantar el centro de la plaza de la masa hasta hacerla rodar. Este proceso de forma continua consiste en dar energía para elevar el centro de la masa y luego de perder la energía a causa de la plaza de caer de nuevo al suelo. Y esto hace que sea muy difícil para una plaza para rodar.

¿Por qué someterse a inelástica de colisiones?

La plaza es propenso a perder más energía debido a inelástica colisiones cuando se compara con un disco circular debido a una mayor área de la superficie que está en contacto con el suelo. Esto es similar para el caso de una bicicleta del neumático. Cuando el neumático se infla, es esférico y por lo tanto tiene un menor está en contacto con el suelo resultando en una menor energía se pierde, mientras que un desinflado de los neumáticos tiene una mayor área de contacto con el suelo que hace que sea más propenso a inelástica de colisiones.

Rodadura

Cuando un círculo/la esfera de los rollos, la altura del centro de masa es la misma en todo el movimiento debido a la simetría de la forma. También se puede ver en el GIF de abajo.

^{Animación de origen}

Esto significa que ninguno de la energía que nos proporcionan, se pierde en el cambio de la altura del centro de masa. Y toda la energía se utiliza en la aceleración de la esfera/círculo, que nos hace sentir fáciles de rodar más rápido.

¿Por qué su centro de masa permanecer a la misma altura?

Por el bien de rigor, vamos a demostrar que un círculo es la única forma 2D que tiene la propiedad de que su centro de masa permanece a la misma altura cuando la rueda. Primero vamos a suponer que existe otra forma (no un círculo), que también tiene esta propiedad. Esto implica que no importa la forma de poner que se forma en el suelo (por supuesto, no podemos sentar plana), el centro de masa permanecerá para siempre a una altura constante. Lo que significa que la distancia entre el suelo y el centro de masa siempre será el mismo. Lo que implica entonces que la distancia entre el límite, a punto de tocar el suelo y el centro de masa siempre será el mismo. Sin embargo, esto es cierto para todos los puntos de límite, desde todos los puntos de límite puede ser hecho de tocar el suelo (de nuevo estamos asumiendo una convexidad). Esto implica que todos los puntos de límite están a la misma distancia desde el centro de la masa. Esto significa que el límite de puntos se encuentran en un círculo el cual está centrado en el centro de masa del cuerpo. Y por lo tanto la forma deseada puede ser nada más que un disco circular.

Momento de Inercia de la

El momento de inercia también tiene un papel que jugar aquí. Se puede demostrar que para una constante dada el área de cualquier figura en 2D, un disco circular tendría el menor momento de inercia (asumiendo que todas las formas a partir de los mismos materiales/densidad). Esto significa que sería un poco más fácil para rodar un disco circular que cualquier otra forma 2D. Un argumento similar se tiene para figuras en 3D, sin embargo, aquí nos gustaría mantener el volumen (3D analógico de área) constante, mientras que la variación de la forma. Pero aquí, en teoría, un cilindro con un infinitesimalmente pequeño radio e infinitamente grande de longitud tendrá la menor momento de inercia.

Anexo

Para las superficies especiales, usted puede incluso hacer un cuadrado girar como una esfera. Ver el GIF de abajo.

^{Animación de origen}

Como se puede ver, si utilizamos una superficie que se compone de los invertida de la Catenaria de las curvas, incluso podemos hacer un cuadrado rollo. Para ver por qué esto es cierto, usted puede comprobar fuera de la derivación aquí.

También, como esta respuesta sugiere, curvas de anchura constante , también son buenos candidatos cuando se trata de rodar. Estrictamente hablando, el círculo no es la única forma que puede rodar sobre una superficie plana. Sin embargo es mucho mejor que un cuadrado cuando se trata de rodar.

Answer 2

En e ideal de no-deslizamiento condición, la pelota sigue rodando para siempre después de un puntapié inicial o de empuje. Después de rodar, no es necesario aplicar una fuerza externa, que no necesita ningún tipo de energía externa.

El bloque no puede mantener a la rodadura. En orden para que gire, usted necesita para levantar el centro de masa por $\frac{\sqrt{2}-1}{2} a$ ($a$ es la longitud de un lado), que exige $\frac{\sqrt{2}-1}{2} mga$ de energía. Después de girar 45 grados se puede derrocar al otro lado, otro movimiento de 45 grados. Como el bloque golpea el suelo, pierde su energía cinética en energía térmica y necesidades de levantar de nuevo.

Energéticamente hablando, uno no necesita energía en todo, mientras que el otro necesita una cantidad finita de energía en cada ciclo. Esta es una diferencia entre lo finito y ninguno. Como usted ha mencionado, si usted sigue empujando con la misma fuerza, la pelota se mantenga la aceleración. Tratando de acelerar el bloque sería muy frustrante. Así que en términos de la velocidad en el largo plazo, tienen una diferencia de velocidad de infinito(olvídate de Einstein por ahora) y finito.

¿Cómo se puede comparar infinito y lo finito? ¿Cómo se puede comparar finito y ninguno?

Answer 3

Digamos que tengo estos igualdad de tamaño de los objetos ...

Primera counterquestion: ¿Qué significa "mismo tamaño" significa?

• El diámetro de la circunferencia es igual a la longitud de la arista de la plaza
• El cuadrado y el círculo tienen la misma área

Demostrar matemáticamente que ronda los objetos de rodar más rápido

Incluso en los primeros 90 grados, donde no tenemos ningún choque (véase David Browne de la respuesta) el círculo es más rápido:

Supongamos que la longitud de la arista del cuadrado es $a$.

Entonces, el momento de inercia de un cuadrado que gira alrededor de su borde es:

$$J=(\frac16+\frac12)ma^2$$

El tiempo necesario para la plaza para girar un ángulo de $\alpha$ ahora puede calcularse como:

$$t^2 = \frac{2 \alpha J}{M} = \frac{4 \alpha ma^2}{3 M}$$

Los símbolos tienen el siguiente significado:

$$\begin{array}{ll} \alpha & \text{Angle of rotation} \\ J & \text{Moment of inertia} \\ M & \text{Torque} \\ m & \text{Mass of the square} \\ a & \text{Edge length of the square} \\ t & \text{Time needed for the rotation} \end{array}$$

Vamos sólo se ven en el tiempo necesario para los primeros 90 grados de rotación, lo que significa que el cuadrado se mueve la distancia $a$:

$$t^2 = \frac{2 \pi}{3}\frac{ma^2}{M}$$

Ahora veamos el círculo con la misma área que el cuadrado:

Esto significa que el radio de este círculo es $r=\frac{a}{\sqrt\pi}$.

El momento de inercia es $J=\frac32mr^2=\frac3{2\pi}ma^2$. El círculo debe girar en un ángulo de $\alpha=\sqrt\pi$ a moverse una distancia de $a$.

Así que el tiempo que se necesita para mover una distancia de $a$ es:

$$t^2 = \frac{2 \alpha J}{M} = \frac3{\sqrt{\pi}}\frac{ma^2}{M}$$

Y ahora podemos comparar el tiempo que se necesita:

$$\frac3{\sqrt{\pi}} < \frac{2 \pi}{3}$$

Esto significa que el círculo se necesita menos tiempo para rodar una distancia de $a$.

Answer 4

Objetos circulares no son los más rápidos.

Por ejemplo, el uso de un trilobular. (O cualquier otro suave convexidad.)

Inicio en la orientación que se muestra en esa página de la Wikipedia. Esta es la orientación, donde su centro de masa es mayor. Entonces, por lo general, estar rodando más rápido que el círculo debido a haber convertido a algunos de su energía potencial en energía cinética. Sólo en aquellos instantes donde su centro de masa ha vuelto a la altura original se va tan lentamente como el círculo.

Incluso el ejemplo de un cuadrado irá más rápido que el círculo, si reemplazar las partes planas con un poco abultado lados y alrededor de las esquinas ligeramente y girar 45° por lo que comienza "parado en una esquina".

Answer 5

Matemáticamente, un círculo es la forma de menos de perímetro de área cerrada. Por lo tanto, ya que cada vez que se gira que recorre una distancia igual a la de su perímetro, se necesita una menor cantidad de tiempo para girar en comparación con los de cualquier otra forma.

Junto con el hecho de que el eje no se mueve arriba y abajo, esto implica que requiere la menor cantidad de fuerza para viajar (en un escenario ideal).