¿Podemos diferenciar el pequeño teorema de Fermat?

Question

A partir del pequeño teorema de Fermat y del teorema del factor, para cualquier $x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , $$x(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)\equiv x^p-x$$ está satisfecho. Si tomamos la derivada de esto, obtenemos $$\sum_{i=0}^{p-1}\prod_{j=0,i\neq j}^{p-1}(x-j)\equiv -1.$$ Esta fórmula puede derivarse de otra manera. \begin{align}&\sum_{i=0}^{p-1}\prod_{j=0,i\neq j}^{p-1}(x-j)\\ \equiv&\prod_{j=0,j\neq x}^{p-1}(x-j) +\sum_{i=0,i\neq x}^{p-1}\frac{1}{x-i}\prod_{j=0}^{p-1}(x-j) \\ \equiv&\prod_{j=1}^{p-1}j+\sum_{i=1}^{p-1}i\prod_{j=0}^{p-1}(x-j)\\ \equiv& -1 \end{align}

Prefiero la primera forma (¡porque es más sencilla!). Sin embargo, no sé por qué puedo aplicar la derivada aunque sea mod p. ¿Podemos demostrar que está bien aplicar la derivada?

Answer 1

Para poder diferenciar, tienes que demostrar que tu igualdad no sólo es cierta puntualmente, sino como una igualdad de polinomios (que es estrictamente más fuerte).

En concreto, indiquemos $P \equiv Q \pmod p$ si todos los coeficientes de $P-Q$ son múltiplos de $p$ (llamaremos a esta igualdad polinómica mod $p$ ). Obsérvese que la igualdad polinómica implica la igualdad puntual :

$$P \equiv Q \pmod p \implies \forall x \in \mathbb{Z}, P(x) \equiv Q(x) \pmod p$$

Pero cuidado, lo contrario no es cierto en general (tomemos por ejemplo $P=X^p-X$ y $Q=0$ ). Ahora demostramos que la igualdad polinómica puede ser diferenciada (mientras que la igualdad puntual no puede, utilizando el mismo contraejemplo) : en efecto, si suponemos $P \equiv Q \pmod p$ entonces podemos escribir $P(X)-Q(X) = p R(X)$ con $R \in \mathbb{Z}[X]$ . Y diferenciando, obtenemos $P'(X) - Q'(X) = p R'(X)$ Así que $P' \equiv Q' \pmod p$ .

Ahora vamos a denotar $P = X(X-1)(X-2)\ldots (X-p+1)$ y $Q = X^p -X$ . Y demostremos que $P \equiv Q \pmod p$ que nos permitirá diferenciar. Consideremos $R = P-Q$ y observe que $\deg R = p-1$ porque los términos de grado $p$ de $P$ y $Q$ cancelar. Ahora recuerda que $k = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es un campo, y que $R(a) = 0$ para todos $a \in k$ . En otras palabras, el polinomio $R \in k_{p-1}[X]$ tiene $p$ raíces en $k$ , por lo que debe ser $0$ . Lo que significa que $P-Q \equiv 0 \pmod p$ .