Aplicaciones concretas de conocer $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$

Question

Tengo muy poca experiencia con las representaciones de Galois, principalmente en relación a la teoría de cuerpos de clases, curvas elípticas y formas modulares, pero parecen tener bastante reputación en la teoría de números como uno de los objetos de estudio más importantes, en particular porque la filosofía Tannakiana establece que nos permiten recuperar $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$. Entonces mi pregunta es bastante simple: ¿cuáles son algunas cosas "básicas" (si las hay) que podemos hacer si realmente tenemos un fuerte entendimiento de la estructura de este grupo?

La pregunta está diseñada para ser flexible, lo que significa que puedes asumir toda la información adicional que desees considerar como "entendimiento" del grupo (es decir, entender los grupos de descomposición en cada primo, etc.). Sin embargo, estoy buscando una colección de aplicaciones concretas de este tipo de cosas, en el espíritu de la teoría de números. Desde resolver ecuaciones diofánticas, hasta afirmaciones sobre la distribución de primos/representaciones de primos, hasta leyes de reciprocidad. Cosas que un estudiante de secundaria podría entender aunque la maquinaria sea bastante complicada, o algo que podrías decirle a otro matemático muy alejado de la teoría de números sobre lo que motiva esta investigación.

Una cosa que viene a la mente de inmediato es resolver el problema de Galois inverso, pero esto es algo que no parece dar una aplicación concreta de inmediato (a menos que alguien tenga un ejemplo, lo cual me interesaría ver). Me da curiosidad ver si hay alguna técnica conjeturada para resolver problemas clásicos de teoría de números que podría volverse más fácil si supiéramos más sobre este grupo. Por supuesto, algo de especulación está permitida, ya que la verdadera (actualmente desconocida) estructura del grupo podría determinar qué aplicaciones son admisibles.

Answer 1

Por supuesto, la teoría de Galois interviene como una herramienta básica en el estudio de algunas ecuaciones diofánticas. Pero aspectos más profundos, en forma de representaciones de Galois, fueron cruciales para la demostración de al menos 4 teoremas fantásticos en el último siglo.

• El teorema de Mordell-Weil sobre puntos racionales de curvas elípticas sobre el campo de los números racionales (Mordell, 1922) o de una variedad abeliana sobre un campo de números (Weil, 1929). Dice que este grupo de puntos racionales es finitamente generado.

• Las representaciones de Galois también juegan un papel importante (a través de la conjetura de Tate) en la demostración de Faltings (1983) de la conjetura de Mordell.

• La demostración del Último Teorema de Fermat no habría sido posible sin una comprensión profunda de las propiedades de las representaciones del grupo $\mathop{\rm Gal}(\bar{\bf Q}/{\bf Q})$. De hecho, el núcleo de la prueba de Wiles/Taylor-Wiles (1995) consiste en establecer el vínculo entre las representaciones asociadas con curvas elípticas y las representaciones asociadas con formas modulares.

• Finalmente, la demostración de Mihailescu (2002) de la conjetura de Catalán, aunque más elemental que las anteriores, hace un gran uso de los campos cíclotomicos y sus grupos de clases (por lo tanto, mediante la teoría de cuerpos de clases, examina de cerca los cocientes abelianos $\mathop{\rm Gal}(\bar{\bf Q}/{\bf Q})$).