Quiero abundar en la respuesta por Jim Humphreys. Me encontré con la misma pregunta en mi mente un par de meses atrás, cuando yo estaba pasando por el libro de Dixmier. En ese punto, he leído la respuesta anterior, pero la explicación concisa por Borho no hacer un montón de sentido para mí. Un par de semanas atrás, el Prof. Victor Ginzburg sugiere el siguiente enfoque que parecía bastante apropiado desde la perspectiva de la explicación anterior:
El peso de celosía para $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ está dado por la siguiente imagen:
En un nivel heurístico, se ve que el que la región sombreada es similar a las curvas que estamos tratando de estudiar, y que motiva a considerar el grupo de Weyl acción. Ahora, en la notación de la imagen, si dejamos $x,y,z$ denotar el doble funcionales de los vectores $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$, respectivamente, tenemos que $x,y$ e $z$ de intervalo de la Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$, y también, $x+y+z=0$. Como el grupo de Weyl $S_3$ hechos por permuting la $\epsilon_i$'s, por el Harish Chandra isomorfismo, tenemos que :
$$Z(\mathfrak{sl}( 3,\mathbb{C})) \cong S(h)^W = \Big(\frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x+y+z)}\Big)^{S_3} = \Big(\frac{\mathbb{C}[x+y+z,xy+yz+zx,xyz]}{(x+y+z)}\Big)\cong\frac{\mathbb{C}[A,B]}{(x+y+z)},$$
donde $A=xy+yz+zx$ e $B=xyz$. Uno ve que $A$ e $B$ son algebraicamente independientes, y así, lo anterior se convierte en un polinomio anillo en $2$ variables, lo que implica que el máximo del espectro de $Z(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C}))$ es isomorfo a $\mathbb{C}^2$ como una variedad algebraica. Es en esta variedad algebraica que queremos proyectar nuestro peso celosía.
Ahora, si decimos que el origen del peso de celosía $O$, la $3$ líneas que pasa por el origen juntos tenemos la ecuación de $(x-y)(y-z)(z-x)$. Más generalmente, para cada número natural $n$, tenemos 6 líneas en la red que están a una distancia $n$ de $O$ que puede ser dada por el conjunto de ecuaciones:
$$P_n:=(x-y-n)(x-y+n)(y-z-n)(y-z+n)(z-x-n)(z-x+n)=[(x-z)^2-n^2][(y-z)^2-n^2][(z-x)^2-n^2],$$
que puede ser visto para ser invariantes bajo la acción de $S_3$. (El hecho de que es obvio geométricamente también!) Por lo tanto, si proyectamos $P_n$ a $Z(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C}))$, en virtud de lo anterior isomorfismo, podemos escribir (después de un breve cálculo) $P_n=27B^2-4A^3+9n^2B^2-6n^4B+n^6$. Ahora, un punto a destacar aquí es que el campo subyacente es $\mathbb{C}$, y así, la ecuación anterior no se puede, técnicamente, se representará en el plano Cartesiano.
Pero, como todos los coeficientes que intervienen son reales, podemos trazar las anteriores ecuaciones cúbicas en el $AB$-avión a conseguir:
Lo suficientemente cerca!