Esta imagen
viene de Dixmier del libro, 'Envolvente Álgebras' ('Algèbres enveloppantes'). Dixmier escribe que
Las curvas mostradas en la página. XIV tienen su origen en el estudio de U(sl(3)). Ellos son debido a que el Profesor W. Borho, que amablemente me autorizado a reproducir.
Lo que hacen estas curvas representan ?
Quiero abundar en la respuesta por Jim Humphreys. Me encontré con la misma pregunta en mi mente un par de meses atrás, cuando yo estaba pasando por el libro de Dixmier. En ese punto, he leído la respuesta anterior, pero la explicación concisa por Borho no hacer un montón de sentido para mí. Un par de semanas atrás, el Prof. Victor Ginzburg sugiere el siguiente enfoque que parecía bastante apropiado desde la perspectiva de la explicación anterior:
El peso de celosía para $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ está dado por la siguiente imagen:
En un nivel heurístico, se ve que el que la región sombreada es similar a las curvas que estamos tratando de estudiar, y que motiva a considerar el grupo de Weyl acción. Ahora, en la notación de la imagen, si dejamos $x,y,z$ denotar el doble funcionales de los vectores $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$, respectivamente, tenemos que $x,y$ e $z$ de intervalo de la Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$, y también, $x+y+z=0$. Como el grupo de Weyl $S_3$ hechos por permuting la $\epsilon_i$'s, por el Harish Chandra isomorfismo, tenemos que : $$Z(\mathfrak{sl}( 3,\mathbb{C})) \cong S(h)^W = \Big(\frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x+y+z)}\Big)^{S_3} = \Big(\frac{\mathbb{C}[x+y+z,xy+yz+zx,xyz]}{(x+y+z)}\Big)\cong\frac{\mathbb{C}[A,B]}{(x+y+z)},$$ donde $A=xy+yz+zx$ e $B=xyz$. Uno ve que $A$ e $B$ son algebraicamente independientes, y así, lo anterior se convierte en un polinomio anillo en $2$ variables, lo que implica que el máximo del espectro de $Z(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C}))$ es isomorfo a $\mathbb{C}^2$ como una variedad algebraica. Es en esta variedad algebraica que queremos proyectar nuestro peso celosía.
Ahora, si decimos que el origen del peso de celosía $O$, la $3$ líneas que pasa por el origen juntos tenemos la ecuación de $(x-y)(y-z)(z-x)$. Más generalmente, para cada número natural $n$, tenemos 6 líneas en la red que están a una distancia $n$ de $O$ que puede ser dada por el conjunto de ecuaciones:
$$P_n:=(x-y-n)(x-y+n)(y-z-n)(y-z+n)(z-x-n)(z-x+n)=[(x-z)^2-n^2][(y-z)^2-n^2][(z-x)^2-n^2],$$
que puede ser visto para ser invariantes bajo la acción de $S_3$. (El hecho de que es obvio geométricamente también!) Por lo tanto, si proyectamos $P_n$ a $Z(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C}))$, en virtud de lo anterior isomorfismo, podemos escribir (después de un breve cálculo) $P_n=27B^2-4A^3+9n^2B^2-6n^4B+n^6$. Ahora, un punto a destacar aquí es que el campo subyacente es $\mathbb{C}$, y así, la ecuación anterior no se puede, técnicamente, se representará en el plano Cartesiano.
Pero, como todos los coeficientes que intervienen son reales, podemos trazar las anteriores ecuaciones cúbicas en el $AB$-avión a conseguir:
Lo suficientemente cerca!
La fuente original de esta foto está en la página 178 de 1977 de la Matemática. Annalen papel de Walter Borho aquí. El papel Berechnung der Gelfand-Kirillov-Dimensión bei induzierten Darstellungen está en alemán, pero la foto de aquí tiene un título que se traduce aproximadamente como:
Los puntos reales de la "excepcional hipersuperficie" en el espacio de ($\cong \mathbb{C}^2$) de la máxima ideales de $Z(\mathfrak{g})$ para el caso de $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})$ (cf. 1.2, 4.3, y 5.6).
Aquí $Z(\mathfrak{g})$ denota (como en Dixmier del libro) el centro de el universal que envuelve el álgebra de Lie semisimple álgebra $\mathfrak{g}$. Borho (junto con Jantzen, José, y otros) hizo un estudio sistemático de los primitivos ideales en estas álgebras de Lie, que es un importante tema en Dixmier de 1974 del libro en francés. El libro fue publicado por primera vez en la traducción en inglés en 1977, con esta ilustración incluida en el frontmatter como página xviii (no XIV). En 1996 AMS reimpresión de la traducción, con algunos (pero no suficiente) de las erratas en la edición de 1977 corregido en una lista anexa.
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