No estoy seguro de que tiene sentido preguntar "¿cuál es el p-ádico local Langlands conjetura para $\mathrm{GL}_1$". Nadie ha conseguido aún la formulación de una razonable candidato para un p-ádico LLC para $\mathrm{GL}_n$, por lo que no se puede enchufar $n = 1$ y ver lo que dice. Moralmente, la hipótesis debe ser algo como esto:
- para $K$ p-ádico de campo, hay un bijection entre las continuas representaciones $\mathrm{Gal}(\overline{K} / K) \to \mathrm{GL}_n(E)$, $E$ un p-ádico de campo, y continua admisible unitario p-ádico $E$-Banach-espacio de las representaciones de $\mathrm{GL}_n(K)$, la satisfacción de una [propiedades].
El problema es: ¿qué propiedades? Dice: "no es un bijection" es justo afirmar que los conjuntos tienen la misma cardinalidad, que es trivial, y claramente no es lo que se pretende aquí (Serre hace exactamente este punto en su conferencia Cómo Escribir Matemáticas Mal, que está en YouTube). Así que uno necesita para explicar lo que las propiedades son, y esto es difícil de hacer.
En esta $\mathrm{GL}_1$ configuración puede engañar, porque ya hay un candidato para este bijection (cualquier continua carácter unitario $K^\times \to E^\times$ se extiende únicamente a la profinite finalización, y $\widehat{K^\times}$ es el abelianization de $\mathrm{Gal}(\bar{K} / K)$ por la clase de teoría de campo). Pero uno no sabe cómo únicamente para precisar lo que la pregunta es para $\mathrm{GL}_n$, lo cual es una razón por la cual es difícil de responder!
Incluso para $\mathrm{GL}_2 / \mathbf{Q}_p$, Colmez ha construido un bijection entre p-ádico de Banach representantes de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ y 2-dimensional de Galois representantes, que tiene una larga lista de propiedades atractivas; pero como soy consciente de que no hay un teorema que dice que "Colmez la correspondencia es la única correspondencia con las propiedades X, y y Z".
EDIT. Permítanme añadir algo más sobre el mundial de lado. Aquí es aún menos claro cuál es la pregunta. Para $\mathrm{GL}_n$ sobre un campo de número de $K$, la declaración debe ser, probablemente, que no debe ser un bijection entre: $n$-dimensional $p$-ádico representación de $\mathrm{Gal}(\overline{K} / K)$ que son continuos y unramified casi en todas partes; y "p-ádico automorphic representaciones de $\mathrm{GL}_n$". Pero no es del todo claro cuál es la definición de la última clase de objetos debe ser por $n \ge 2$.
El eigenvariety para $\mathrm{GL}_1 / K$, $K$ un campo de número, es bien entendido. Voy a resumir Ratonero construcción brevemente. Elija algunas de abrir compacto subgrupo $U$ de % de $\left(\mathbf{A}_K^{(p\infty)}\right)^\times$ (el finito adeles lejos de $p$). Deje $K_\infty^\circ$ ser totalmente positiva elementos de $(K \otimes \mathbf{R})^\times$. A continuación, el cociente
$$ G(U) = \mathbf{A}_K^\times / \overline{ U \cdot K_\infty^\circ \cdot K^\times } $$
es bastante amigable abelian grupo; tiene un subgrupo de índice finito isomorfo a $\mathbf{Z}_p^n$ para algunos entero $1 \le n \le [K : \mathbf{Q}]$. Por otra parte, Leopoldt la conjetura es muy fácil de ver que es equivalente a determinar el $n$ (se dice que $n = 1 + r_2$ donde $r_2$ es el número de lugares complejos de $K$). Desde $G(U)$ es un amistoso grupo, es fácil ver que $p$-ádico personajes de $G(U)$ natural biject con los puntos de un espacio rígido $\mathcal{E}(U)$ y que su eigenvariety.
Ahora, los puntos de $\mathcal{E}(U)$ se puede ver como continua $p$-ádico personajes de $\mathbf{A}_K^\times / K^\times$ con la prime-a-$p$ ramificación delimitada por $U$ o (a través de la clase de teoría de campo) como 1-dimensional de representaciones de Galois, de nuevo con la prime-a-$p$ ramificación delimitada por $U$. Que le da un bijection entre estas clases de objetos, a los que parece natural para dar el nombre de "p-ádico Langlands para $GL_1$". Hay así una relación entre los objetos en Chandan una pregunta:
- p-ádico Langlands para $GL_1$ es un bijection entre dos clases de objetos, "automorphic" y "Galois", que es una fácil consecuencia de la clase de teoría de campo;
- ambas clases de objetos son, naturalmente, parametrizada por una $p$-ádico rígido espacio, que llamamos el eigenvariety;
- Leopoldt la conjetura es una afirmación acerca de la dimensión de la eigenvariety, que involucra a los mismos objetos como $p$-ádico Langlands, pero es lógicamente independiente de la misma.
Tan pronto como usted se aleja de $\mathrm{GL}_1$, aunque, eigenvarieties obtener menos central a la $p$-ádico Langlands imagen (aunque todavía están claramente muy importante). El problema ahora es que eigenvarieties se espera que parametrise Galois las representaciones, que son bastante "degenerados" a nivel local en $p$: técnicamente no debería ser trianguline, un concepto introducido por Colmez. Para $\mathrm{GL}_1$ todo lo que es (vacuously) trianguline, pero esto es más y más lejos de ser verdaderas como $n$ crece; por ejemplo, un Galois representación finita de la imagen es sólo trianguline si es una suma directa de los personajes. Trianguline representaciones debe corresponder en virtud de p-ádico Langlands a las representaciones de $\mathrm{GL}_n$ inducida a partir de la Borel subgrupo, en un sentido de que estos son los más fáciles queridos!
