¿Cuál es la suma indefinida de tan(x)?

Question

Cuál es la suma indefinida de la función tangente, es decir, la función $T$ para lo cual

$\Delta_x T = T(x + 1) - T(x) = \tan(x)$

Por supuesto, hay infinitas respuestas, que difieren todas en función del periodo 1. Idealmente, me gustaría que la solución fuera de la forma

$T(x) = $ función_agradable $(x)$ + función_periódica_posible $(x)$ , donde nice es, al menos, continuo a trozos.

Si se puede encontrar cualquiera de las siguientes sumas, también se puede encontrar la suma de tan:

• $\sum \sec x$

• $\sum \csc x$

• $\sum \cot x$

• $\sum \frac{1}{e^{ix} + 1}$

He probado varios métodos sin éxito, incluyendo el uso de una serie de newton (que no converge para los no enteros $x$ ), y tratando de adivinar las posibles funciones.

También agradecería líneas de ataque si no se conoce una solución.

Answer 1

Agrego más detalles para la solución en la respuesta distinguida por Anixx. En primer lugar, necesitamos el digamma función
http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
que llamaremos $\Psi(x)$ . Las propiedades importantes (de esa página web) son: $\Psi(x)$ es analítica en el plano complejo excepto en los enteros no positivos donde tiene polos simples. $\Psi(x+1)-\Psi(x) = 1/x$ . $\Psi(x) > 0$ para $x>2$ . Asintótica: $$ \Psi(x) = \log x - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} + O(x^{-6}) \qquad\text{as } x \to \infty . $$ Por lo tanto, defina $T(z) ={}$ $$ -\sum_{k = 1}^{\infty} \Biggl[\Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) - z + 1\Biggr) + \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) + z\Biggr) - \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) + 1\Biggr) - \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr)\Biggr)\Biggr] $$ Para cualquier $z$ sólo hay un número finito de términos preliminares que implican $\Psi$ evaluado en un argumento no positivo, y la asintótica de los términos restantes se calcula (a partir de la asintótica dada anteriormente) como $$ \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) - z + 1\Biggr) + \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) + z\Biggr) - \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr) + 1\Biggr) - \Psi \Biggl(\pi \biggl(k - \frac{1}{2}\biggr)\Biggr) $$

$=z(1-z)/(k^2\pi^2) + o(k^{-2})$ como $k \to \infty$ . Por tanto, la serie converge de forma absoluta, excepto cuando nos encontramos en un polo de uno de los términos preliminares. Ahora, debido a la convergencia absoluta, podemos restar término a término y simplificar para obtener

$$ T(z+1)-T(z) = \sum_{k=1}^\infty\Biggl[\frac{8z}{(-\pi+2\pi k-2z)(-\pi+2\pi k+2z)}\Biggr] = \tan z . $$

Answer 2

Y aquí está el gráfico de la suma indefinida de tan(x):

Aquí puedes ver tan(x) en rojo y su suma indefinida está en azul.

Como puedes ver, la suma indefinida es bastante continua. La conclusión de Oleg Eroshkin de que esta función debe ser discontinua en todas partes parece provenir de una falsa suposición de que la suma indefinida de una función periódica debe ser también periódica.

Aunque es cierto que como $|x|$ crece la densidad de los polos, mostrando el mismo comportamiento que en la función $f(x)=\tan(x^2)$

La función que se muestra en este gráfico es

$$T(z)=-\sum _{k=1}^{\infty } \left(\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1-z\right)+\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+z\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}+1\right)-\psi \left(k \pi -\frac{\pi }{2}\right)\right)+C$$

Se puede derivar de la primera fórmula en esta página :

$$\tan(x)=8x \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{(2k-1)^2\pi^2-4x^2}$$

Observamos que hay una diferencia de cuadrados en el denominador y separamos los términos para obtener

$$\tan(x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac1{x-\pi k+\frac{\pi}2}+\frac1{x+\pi k-\frac{\pi}2}\right)$$

Ahora tomamos la suma indefinida por cada término para obtener la expresión de T(x). Todo sencillo.

Answer 3

No hay funciones "bonitas" con esas propiedades. Toda solución es discontinua en un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ . Basta con mirar en los postes de $\tan x$ . Sea $x=\pi/2+\pi m$ , $m\in\mathbb{Z}$ . Evidentemente, o bien $T$ es discontinuo en $x$ o en $x+1$ . En este último caso también es discontinuo en $x+k$ para cada número entero positivo $k$ . En el primer caso, $T$ es discontinuo en $x+k$ para cada número entero no positivo $k$ .

Answer 4

No hay razón para pensar que existe una expresión sencilla para la solución $T$ de $$T(x + 1) - T(x) = \tan(x)$$

Lo que SÍ podemos encontrar es una solución sencilla: $$T(x + \pi) - T(x) = \tan(x)$$

Answer 5

Bueno he encontrado la respuesta a tu pregunta, es

$$\sum_x \tan(x)=ix-\psi _{e^{2 i}}^{(0)}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)+C$$

Lo he comprobado con el operador diferencia y da tan(x). La función implicada es la función q-digamma http://mathworld.wolfram.com/q-PolygammaFunction.html .

Puedes verifique usted mismo el resultado .