¿Podemos axiomatizar los números enteros omnímodos sin el sistema de números surrealistas?

Question

Los números enteros omniformes son la contrapartida en los números surrealistas de los números enteros. Los números surrealistas suelen definirse utilizando la teoría de conjuntos, y luego los enteros omníficos se definen como un subconjunto particular (o más bien subclase) de ellos. Mi pregunta es, ¿tiene que ser así? ¿Es posible dar una axiomatización de primer orden de los enteros omníficos y su aritmética, sin tener que definir los propios números surrealistas? Sé que forman una clase propia, por lo que existe el riesgo de que sean "demasiado grandes" para describirlos. Pero Tarksi dio una axiomatización de primer orden para los números ordinales, que también forman una clase propia, así que al menos tenemos alguna esperanza.

La razón por la que estoy interesado es por esta pregunta Hace un tiempo pregunté sobre la posibilidad de encontrar un modelo no estándar de aritmética (Robinson) cuyo campo de fracciones forme un campo real cerrado. Los enteros omniformes forman tal modelo no estándar, por lo que quiero averiguar si podemos axiomatizarlos.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

EDIT: Para que quede claro, no quiero una axiomatización de los enteros omnímodos que se base en otra cosa, como los números reales, los números surrealistas o la teoría de conjuntos. Quiero una teoría en la línea de la Aritmética de Peano.

EDIT 2: Como ha dicho Emil, parece que una axiomatización recursiva de los enteros omníficos es imposible. Entonces, ¿podríamos definirlos de alguna otra manera, sin referencia a los números surrealistas (o a los números reales)?

Answer 1

He aquí un par de observaciones de mi comentario anterior.

En primer lugar, la teoría de los enteros omnímodos es una extensión completa de la aritmética de Robinson, por lo que no es axiomatizable recursivamente. Esto hace bastante improbable que podamos describir su axiomatización completa de forma razonable.

Números surrealistas No forman un campo real cerrado, y los enteros omnipresentes Oz son su subringa, por lo que forman un anillo ordenado. De hecho, se sabe que Oz es una parte entera de No (es decir, para cualquier número surrealista $r$ existe un único entero omnímodo $n$ tal que $n\le r< n+1$ ), lo que -por un conocido resultado de Shepherdson- significa que Oz es un modelo de IOpen (la teoría de anillos discretamente ordenados + inducción para fórmulas abiertas en el lenguaje de anillos ordenados). Además, el campo de fracciones de Oz (A saber, No ) es real-cerrado; esto puede expresarse mediante un esquema de axiomas de primer orden (llamémoslo A), con un axioma para cada grado. (Este conjunto de axiomas puede simplificarse: en presencia de A, IOpen es equivalente a la teoría de anillos discretamente ordenados + división con resto).

Por otro lado, Oz no satisface la inducción para clases más grandes como $E_1$ (fórmulas existenciales acotadas), ni satisface axiomas algebraicos como la normalidad o gcd. La razón es que tales axiomas contradicen A (o incluso su corolario que $\sqrt2$ está en el campo de la fracción de Oz ).

Answer 2

Se pueden construir los enteros omniformes empezando por los números ordinales y luego ampliando el conjunto para definir la resta en todas partes. Esto es similar a cómo se pueden expandir los Números Naturales a los Enteros definiendo la resta en todas partes: por ejemplo, 2-3 no está definido dentro de los Números Naturales; pero definiendo -1 de manera que sea igual a 2-3, se expanden los Números Naturales para abarcar todos los Enteros. De forma similar, ω es un ordinal y también lo es ω+1; pero ω-1 no es un ordinal. Pero definiéndolo como "aquel número que, al sumarle 1, nos da ω", podemos ampliar los Ordinales para incluir la resta de 1 a ω. Extendiendo esto para incluir las respuestas para cada diferencia posible de dos ordinales, se tienen los enteros omníficos.

Dicho de otro modo, los ordinales son un subconjunto de los enteros omnímodos que pueden construirse estrictamente mediante la adición (o más bien, el "siguiente") y nunca la sustracción (o el "anterior"); y se obtiene el resto de los enteros omnímodos introduciendo un "anterior" para todo.

Y una vez que tengas los Números Enteros Omníficos, puedes usarlos para definir los Números Surrealistas: Sobre los números y los juegos incluye una prueba que muestra que todo Número Surreal puede ser expresado como el cociente de dos Números Enteros Omnificables. Y sí, esto incluye números irracionales como π, ℯ y √2. No sé cuáles son esos cocientes en particular, y no me sorprendería que escribirlos fuera al menos tan complicado como escribir las representaciones decimales de estos números; pero existen. Sin embargo, significa que "irracional" sólo tiene sentido en el contexto de los números enteros (finitos); una vez que se permite la gama completa de números enteros omnímodos, nada es irracional.