Sé que es posible construir el sistema de números hiperreales en ZFC utilizando el axioma de elección para obtener un ultrafiltro no principal. ¿La inexistencia de un conjunto de hiperreales sería consistente sólo con ZF, sin elección? Permítanme ser conservador, y decir que por un "conjunto de hiperreales", sólo quiero decir un conjunto junto con algunas relaciones y funciones tales que el principio de transferencia se mantiene, y existe $\epsilon > 0$ menor que cualquier número real positivo.
Respuestas
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La respuesta es sí, siempre que la propia ZF sea coherente. La razón es que la existencia de los hiperreales, en un contexto con la principio de transferencia implica que hay un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ .
En concreto, si $N$ es cualquier número natural no estándar (infinito), entonces sea $U$ sea el conjunto de todos los $X\subset\mathbb{N}$ con $N\in X^*$ . Se trata de un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ , ya que:
- Si $X\in U$ y $X\subset Y$ entonces $N\in X^*\subset Y^*$ y así $Y\in U$ .
- Si $X,Y\in U$ entonces $N\in X^*\cap Y^*=(X\cap Y)^*$ y así $X\cap Y\in U$ .
- Si $X\subset\mathbb{N}$ , entonces cada número está en $X$ o en $\mathbb{N}-X$ y, por lo tanto, o bien $N\in X^*$ o $N\in(\mathbb{N}-X)^*$ y por lo tanto $X\in U$ o $\mathbb{N}-X\in U$ .
- Para cualquier número natural estándar $n$ el conjunto $X=\{m\in \mathbb{N}\mid n\leq m\}$ está en $U$ porque $n^*\leq N$ .
- El conjunto vacío $\emptyset$ no está en $U$ ya que $N\notin\emptyset=\emptyset^*$ .
Así que $U$ es un ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ . La forma en que pienso en $U$ es que se concentra en conjuntos que expresan todas y sólo las propiedades que tiene el número no estándar $N$ . (Véase también mi respuesta a Un comentario de Connes , donde hago un punto similar, y explico que, por lo tanto, el análisis no estándar con la propiedad de transferencia implica que debe haber un conjunto no medible de reales).
Así, en un modelo de ZF sin ultrafiltro no principal en $\mathbb{N}$ (y como menciona Asaf en los comentarios, de hecho hay tales modelos si es que hay algún modelo de ZF), no hay ninguna estructura de los hiperreales que satisfaga el principio de transferencia.
David Grayson
Puntos
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En respuesta específicamente al título de la pregunta: "¿Es la no existencia de los hiperreales consistente con ZF?", técnicamente hablando la respuesta es NO. Kanovei y Shelah construyeron un modelo definible de los hiperreales en ZF; véase http://arxiv.org/pdf/math/0311165.pdf
Por lo tanto, ZF es no "consistente con la inexistencia de los hiperreales". Por supuesto, para demostrar cualquiera de sus propiedades (como que son realmente una extensión propia, satisfacen la transferencia, etc.) se necesita AC, pero lo mismo ocurre con muchos otros resultados matemáticos cruciales (véase más adelante).
Goldblatt en su libro "Lectures on the hyperreals" toma la aditividad contable como parte de la definición de medida (ver M1 en la página 206). A continuación, utiliza las particiones hiperfinitas, las medidas externas y la transferencia para demostrar que expresa la medida de Lebesgue en términos de la medida de Loeb (página 217). En particular la aditividad contable de la medida de Lebesgue sigue.
Tenga en cuenta que el fallo de la aditividad contable de la medida de Lebesgue (dicha aditividad contable se da por supuesta en el análisis) es también consistente con ZF; véase ¿Es la sigma-aditividad de la medida de Lebesgue deducible de ZF?
Del mismo modo, es consistente con ZF que el teorema de Hanh-Banach (supuestamente fundamento del análisis funcional) falle.
