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Ampliación de N a un semiring con isomorfo aditivo y multiplicativo estructura

Ve (N,+,) como semiring, es posible ampliarlo a un semiring (R,+,), de modo que el aditivo y multiplicativo monoids convertido en isomorfos? Esto significa que hay algunos monoid-isomorfismo

φ:(R,)(R,+)

y N es un sub-semiring de R. Aquí, N está diseñado para incluir a 0. No creo que hay una extensión, pero no puedo encontrar una contradicción. También me pregunto si el problema se convierte en easiert al momento de solicitar un isomorfismo

φ:(R{0},)(R,+)

en su lugar?


Observaciones

La multiplicación será conmutativa. También, habrá muchos nuevos "números", por ejemplo, una única forma aditiva elemento que absorba η:=φ(0), es decir, η+x=η para todos los xR. Para nN+ hemos

nη=η++ηn=η.

Por lo tanto, tenemos más elementos ˜η=φ(η) que absorbe algunos de los números cuando se añade a ellos, por ejemplo,φ(n),nN+, pero no todos (solo puede haber uno universalmente elemento que absorba).

18voto

maxtopus Puntos 90

Hay una extensión de R: tome el cierre de N por las operaciones de L (o φ en el OP) y su inverso E, los cuales son el logaritmo y la exponencial en base 1.2. Observe que la elección de la base (ver más abajo) implica que todos los nuevos números generados por aplicaciones repetidas de las 4 operaciones (+, , L y E) son de >1, a excepción de los infinitos, así que nunca hay una necesidad de aplicar L a los números negativos.

Para los infinitos imponer las siguientes reglas:

0x=0

L(0)+x=L(0)

L(0)x=L(0) si x0

L(L(0))+x=L(L(0)) si xL(0)

L(L(0))x=L(L(0)) si xL(0),0

L(L(L(0)))+x=L(L(L(0))) si xL(L(0)),L(0)

...

Estas normas obedecen a la semiring axiomas y cubrir todas las posibilidades para la mezcla de reales y los infinitos. Observe también que L(0), L(L(0)), L(L(L(0))) etc. son entonces el único no-reales en R.

Como para la elección de una base <2, aviso que si a=1.2577... es la solución a 1.2a=a, en tanto L(x)>a e E(x)>a si x>a y por lo tanto la única de elementos finitos en este modelo de R que puede ser <a son 0, 1, E(1), E(E(1)), E(E(E(1))) etc.

La actualización. Mucho más simple es el modelo de la finalización de la anterior, pero con 2 la base:

L(x)=log2(x), E(x)=(2)x su inversa, y

R={ L3(0),L2(0),L(0),0,1,2,22,222}{xR|x2}

con las mismas reglas para los infinitos como ya se ha explicado.

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