Ampliación de $\Bbb N$ a un semiring con isomorfo aditivo y multiplicativo estructura

Question

Ve $(\Bbb N,+,\cdot)$ como semiring, es posible ampliarlo a un semiring $(R,+,\cdot)$, de modo que el aditivo y multiplicativo monoids convertido en isomorfos? Esto significa que hay algunos monoid-isomorfismo

$$\varphi:(R,\cdot)\cong(R,+)$$

y $\Bbb N$ es un sub-semiring de $R$. Aquí, $\Bbb N$ está diseñado para incluir a $0$. No creo que hay una extensión, pero no puedo encontrar una contradicción. También me pregunto si el problema se convierte en easiert al momento de solicitar un isomorfismo

$$\varphi:(R\setminus\{0\},\cdot)\cong(R,+)$$

en su lugar?

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Observaciones

La multiplicación será conmutativa. También, habrá muchos nuevos "números", por ejemplo, una única forma aditiva elemento que absorba $\eta:=\varphi(0)$, es decir, $\eta+x=\eta$ para todos los $x\in R$. Para $n\in\Bbb N^+$ hemos

$$n\cdot \eta=\underbrace{\eta+\cdots+\eta}_n=\eta.$$

Por lo tanto, tenemos más elementos $\tilde\eta=\varphi(\eta)$ que absorbe algunos de los números cuando se añade a ellos, por ejemplo,$\varphi(n),n\in\Bbb N^+$, pero no todos (solo puede haber uno universalmente elemento que absorba).

Answer 1

Hay una extensión de $R$: tome el cierre de $\mathbb N$ por las operaciones de $\text{L}$ (o $\varphi$ en el OP) y su inverso $\text{E}$, los cuales son el logaritmo y la exponencial en base $1.2$. Observe que la elección de la base (ver más abajo) implica que todos los nuevos números generados por aplicaciones repetidas de las 4 operaciones ($+$, $\cdot$, $\text{L}$ y $\text{E}$) son de $\gt 1$, a excepción de los infinitos, así que nunca hay una necesidad de aplicar $\text{L}$ a los números negativos.

Para los infinitos imponer las siguientes reglas:

$0\cdot x=0$

$\text{L}(0)+x=\text{L}(0)$

$\text{L}(0)\cdot x=\text{L}(0)$ si $x\ne0$

$\text{L}(\text{L}(0))+x=\text{L}(\text{L}(0))$ si $x\ne \text{L}(0)$

$\text{L}(\text{L}(0))\cdot x=\text{L}(\text{L}(0))$ si $x\ne \text{L}(0),0$

$\text{L}(\text{L}(\text{L}(0)))+x=\text{L}(\text{L}(\text{L}(0)))$ si $x\ne \text{L}(\text{L}(0)),\text{L}(0)$

...

Estas normas obedecen a la semiring axiomas y cubrir todas las posibilidades para la mezcla de reales y los infinitos. Observe también que $\text{L}(0)$, $\text{L}(\text{L}(0))$, $\text{L}(\text{L}(\text{L}(0)))$ etc. son entonces el único no-reales en $R$.

Como para la elección de una base $\lt\sqrt{2}$, aviso que si $a=1.2577...$ es la solución a $1.2^a=a$, en tanto $\text{L}(x)>a$ e $\text{E}(x)>a$ si $x>a$ y por lo tanto la única de elementos finitos en este modelo de $R$ que puede ser $<a$ son $0$, $1$, $\text{E}(1)$, $\text{E}(\text{E}(1))$, $\text{E}(\text{E}(\text{E}(1)))$ etc.

La actualización. Mucho más simple es el modelo de la finalización de la anterior, pero con $\sqrt{2}$ la base:

$ \text{L(x)}=\log_{\sqrt{2}}(x)$, $\text{E}(x)=\left(\sqrt{2}\right)^{x}$ su inversa, y

$R= \{\dots\ \text{L}^3(0), \text{L}^2(0), \text{L}(0), 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt{2}^{\sqrt{2}^\sqrt{2}}\dots\}\cup\{x\in\mathbb R| x\ge 2\}$

con las mismas reglas para los infinitos como ya se ha explicado.