Una infinidad de números primos, y Mobius aleatoriedad en los escasos conjuntos

Question

Problema 1: Encontrar un (no muy artificial) conjunto de los números enteros, de manera que para cada $n$, $|A\cap [n]| \le n^{0.499}$, ($[n]=\{1,2,...,n\}$,) donde usted puede probar que $A$ contiene una infinidad de números primos.

Problema 2: Encontrar un (no muy artificial) set $A$ de los números enteros, de manera que para cada $n$, $ |A\cap [n]| \le n^{0.499}$, donde se puede probar que

$ \sum \{\mu(k): k \le n, k \in A\} = o(|A \cap [n]).$

Variación

Para el problema 1 tiene sentido preguntarse no sólo sobre una infinidad de números primos, pero un resultado respecto a la densidad de los números primos, que es de toda la fuerza del teorema de los números primos. (De hecho, pensé en el Problema (2) como una forma débil del problema 1, pero este no es el caso de la manera que he formulado.)

Problema 3: Encontrar un (no muy artificial) set $A$ de los números enteros, de manera que para cada $n$, $|A\cap [n]| \le n^{0.499}$, ($[n]=\{1,2,...,n\}$,) donde se puede demostrar que la densidad de los números primos en $A$ en el intervalo de $[n]$ es $1/\log n+o(1)$.

Quizás la mejor manera de formular y pensar sobre el Problema 3 es en términos de ortogonalidad con la Furgoneta Mangold función.

Motivaciones:

Esta pregunta está motivada por diversos resultados recientes en Mobius aleatoriedad y la infinitud de los números primos en exóticos diferentes conjuntos, y también en esta pregunta: ¿por Qué es tan difícil de probar infinidad restringido de los números primos?.

(El conjunto de $p_{n^5}$ es muy artificial y supongo que un conjunto que puede ser ordenado en una secuencia (no necesariamente el aumento) de forma tal que $a_n$ puede ser demostrablemente calculado en $poly (\log |a_n|)$ pasos no es muy artificial.)

Ejemplos:

1) Un ejemplo natural es un intervalo de la forma $[n,n+t]$ e aquí, de hecho, el más conocido de los resultados absolutos es al $t=n^{0.535..}$. RH permite a $t=\sqrt n \log n$ y parece que aquí la $n^{1/2}$ es una solución viable de la barrera. (Aquí me la base de la información sobre el papel: Un estudio de los Resultados en números Primos en Intervalos Cortos por Cem Yalçın YILDIRIM.)

2) No es un resultado por Friedlander y Iwaniec que existen infinitos números primos de la forma $a^2+b^4$. Aquí la densidad está por encima de la raíz cuadrada de la barrera, pero no sé si hay algún conocimiento con respecto a las mejoras, digamos, $a^3+b^7$.

3) No es un resultado por Elkies acerca de la infinitud de supersingular de los números primos. Los números primos son conjetura que es de densidad de $n^{1/2}$ entre el primer $n$ números, pero seguramente es solo se sabe que son de densidad menor o igual a $n^{3/4}$ no sé si hay Elkies resultados similares a la que puede conducir (que probablemente se encuentre o conjecturally) a escaso conjuntos de números primos.

4) Hay un "PNT para la mayoría de las funciones de" resultado de Bourgain que implica que hay infinitamente muchos m-dígitos de los números primos con más de una fracción de $c$ de sus dígitos binarios son, para algunos $c=1/2+m^{-\rho}$, para algunas de las $\rho<1$ Tener esto para $c=0.9$ va a cruzar la raíz cuadrada de la barrera. (Actualización basada en Cristiano por la respuesta: )Eric Naslund utiliza los resultados acerca de los números primos en intervalos de probarlo para $c=0.737..$.

Answer 1

Permítanme en primer lugar comentar en tus ejemplos:

1) El registro es en realidad $t=n^{0.525}$, debido a Baker, Harman y Pintz.

2) Un poco más delgada de la secuencia de este tipo es $n=a^3+2b^3$, investigado por Heath-Marrón, y también cúbicos de polinomios en dos variables, por Heath-Marrón y Moroz, eprints.la asignatura de matemáticas.ox.ac.reino unido/00000163/01/morozcub2.pdf

Otros polinomios en dos o más variables, como las que se sugieren, ciertamente no son conocidos por los actuales métodos.

4) Aquí es un boceto para obtener los números primos con una densidad de 0.7375 uno bits (comparar también este papel por Eric Naslund http://front.math.ucdavis.edu/1211.2455

y su respuesta en mathoverflow, a una pregunta por Gil Kalai Primos con más queridos de ceros en sus Binario de expansión su-binario-expansión/97345#97345

Por Baker-Harman-Pintz uno puede fijar el primer 0.475 n de bits como una. Con $x=2^n$ Hay $\gg x/\log x$ muchos de los números primos en el intervalo [2^n-(2^n)^0.525, 2^n]. Para el resto de 0.525 n bits de aproximadamente el 50% debe ser 0 y el 50% queridos. Si la proporción de bits era más pequeño, entonces la estimación de la cola (suma de los coeficientes binomiales) se muestran el número de números primos es demasiado pequeño.

Así que en total el asintótica de la densidad de bits puede ser tan grande como $(0.475+1/2\, 0.525)n=0.7375n$.

Aquí es un papel, donde un método similar fue utilizado para encontrar cuadrática no cuadrados o incluso de raíces primitivas, con sólo algunos uno de bits (menos bits que al menos no sean cuadrados o menos raíz primitiva puede ser que necesite).

http://arxiv.org/abs/1207.0842

Ahora un ejemplo de una secuencia con bastante pequeña función de conteo (Problema 1).

Veamos primero a los grandes y dispersas, pero finito de conjuntos. Deje $F_n=2^{2^n}+1$ ser $n$-ésimo número de Fermat.

Deje $D(F_n)$ ser el conjunto de sus divisores. Observe que el número de divisores es (por Wigert enlazado) $d(F_n)=O(exp (c \frac{\log F_n}{\log \log F_n})=O(\exp(c' 2^n/n)$.

Deje $S(k)=\cup_{n=1}^k D(F_n)\subset [1,2^{2^k}+1]$. Observar que $|S(k)|= O(k \exp(c' 2^k /k)< (F_k)^{0.499}$.

El conjunto de los divisores de los números de Fermat contiene también los factores primos (para cada una de las $F_n$ a por lo menos un número primo, como los números de Fermat son coprime).

Bien, para extender a un conjunto infinito, tenemos que cuidar de el hecho de que con $F_{n+1}$ uno posiblemente también añade elementos más pequeños, por lo que el recuento se hace un poco más complicado. Pero estos elementos no son muy pequeños, como uno puede mostrar que los factores primos de $F_n$ son en menos de tamaño $2^n$. Así que tal vez uno puede tomar la unión a lo largo de una delgada subconjunto de los números de Fermat, como $\cup_{n=1}^k D(F_{2^n})$ o similar,

Ni uno solo se lleva el segundo elemento más pequeño $s_n$ de % de$D(F_n)$, (que debe ser un primo!).

$S= \cup_{n=1}^{\infty} s_n$.

Note, también, que el $s_n$ son distintos y son (al menos) aumentando exponencialmente, $s_n>2^n$, por las propiedades de los números de Fermat.

En caso de que alguien piensa que esta es una artificiales secuencia, equivalente a la escritura abajo algunos de los números primos: bueno, el primer divisores de secuencias, tales como $s_n=n^2+1$ o $s_n=\lfloor 2^n/n\rfloor$ puede que no funcione, ya que estos podrían ser demasiado denso.