¿Qué espacios se caracterizan por tener funciones con soporte compacto?

Question

Es bien sabido que dos espacios de Hausdorff localmente compactos $X, Y$ son homeomórficos si los anillos $C_0(X), C_0(Y)$ (funciones continuas que desaparecen en el infinito) son isomorfas.

¿Existe una clase $\mathcal{C}$ de espacios topológicos tales que $X, Y \in \mathcal{C}$ son homeomórficos, si los anillos $C_c(X), C_c(Y)$ son isomorfas?

Aquí $C_c(X) = \lbrace f:X \to \mathbb R\mid \operatorname{cl}_X \lbrace x \in X \mid f(x) \neq 0\rbrace\text{ is compact}\;\rbrace$ denota el anillo de funciones continuas con soporte compacto.

Answer 1

Mi sensación ingenua es que la respuesta es simplemente la clase de espacios Hausdorff localmente compactos, por las siguientes razones. En primer lugar, para un espacio de Hausdorff localmente compacto $X$ se puede recuperar $C_0(X)$ de $C_c(X)$ por terminación en la norma uniforme; y la norma uniforme es una característica algebraica porque puede derivarse de los caracteres del anillo $C_c(X)$ . Así que para $X$ y $Y$ Hausdorff localmente compacto, si $C_c(X)$ y $C_c(Y)$ son isomorfos entonces $X$ y $Y$ son homeomórficos.

Supongamos ahora que $X$ es cualquier espacio completamente regular (Hausdorff) (y seguramente son los espacios topológicos de esta clase los que nos interesan). Entonces $X$ es la unión disjunta de un subconjunto abierto localmente compacto $X_0$ que consiste en puntos que tienen una vecindad compacta y un subconjunto cerrado $X_1$ que consiste en puntos que no lo hacen. Cada $f\in C_c(X)$ se desvanece en $X_1$ por lo que no vamos a obtener ninguna información sobre $X_1$ de $C_c(X)$ .

Así que mi sensación es que $C_c(X)$ determina $X_0$ hasta el isomorfismo pero no da ninguna información sobre $X_1$ .