¿Por qué son las Ecuaciones Diferenciales Parciales se llama así? yo.e, elípticas, hiperbólicas y parabólicas. Hago saber la condición en la que un general de segundo orden de la ecuación diferencial parcial se convierte en estos, pero no entiendo por que se llama así?
Tiene nada que ver con la elipse, hipérbolas y parábolas?
Un general de 2º orden lineal de la PDE en dos variables está escrito
$$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0$$
y $A,B,C,D,E,F$ pueden ser funciones dependiendo $x$ e $y$. Decimos que un PDE es elípticas, hiperbólicas o parabólico si \begin{align} B^2 - AC &= 0, &\text{parabolic} \\ B^2 - AC &>0, &\text{hyperbolic} \\ B^2 - AC &<0, &\text{elliptic} \end{align} Tenga en cuenta que si $A,B,C,D,E,F$ dependen $x$ o $y$, no puede ser regiones donde el PDE es elípticas, hiperbólicas o parabólico y se utilizan diferentes técnicas para resolver cada tipo. Si los coeficientes son constantes la denominación viene de considerar la ecuación polinómica $$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ dependiendo del signo de $B^2 - AC$, esto forma una elipse, una hipérbola o una parábola en $\mathbb{R}^2$. Esto puede ser extendido a dimensiones superiores, así como con hyperboloids, paraboloides, o elipsoides.
Me gustaría abordar este comentario de la OP a una de las respuestas:
Pero creo que las soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales no tienen nada que ver con su nombre? O qué tienen?.
En realidad, se pueden relacionar los nombres de los correspondientes geométricas curvas. Para ello, considere cómo el siguiente homogénea PDE mirada en la de Fourier transformada de formulario.
Original de la PDE (con $u^{(n,m)}(x,y)$ denotando $n$ésima derivada parcial de $u$ en $x$ e $m$th en $y$):
$$Au^{(2,0)}(x,y) + 2Bu^{(1,1)}(x,y) + Cu^{(0,2)}(x,y) + Du^{(1,0)}(x,y) + Eu^{(0,1)}(x,y) = 0.\tag1$$
De Fourier transformada uno (con $\hat u(k_x,k_y)$ que denota la transformada de Fourier de $u(x,y)$):
$$\mathcal L\hat u(k_x,k_y) = 0,\tag2$$
donde
$$\mathcal L=Ak_x^2 + 2Bk_xk_y + Ck_y^2 + Dk_x + Ek_y.\tag3$$
Esta multiplicación por $\mathcal L$ es la transformada de Fourier de espacio en la versión de la diferencia de operador de $(1)$. Observe que $\mathcal L$ es solo un segundo-grado del polinomio en $k_x$, $k_y$ - una forma cuadrática. Consideremos ahora los nodos de $\mathcal L$ en la $(k_x,k_y)$ avión: que será definido por la ecuación
$\mathcal L=0.\tag4$
Geométricamente, estos nodos serán exactamente los tipos de curvas con el nombre correspondiente al nombre de la clase de inhibidores de la PDE, es decir, elipses, hipérbolas o parábolas.
Todas las curvas cuadráticas pueden ser estudiados mediante la ecuación de $Ax^2+2Bxy+Cy^2 + Dx + Ey + F=0$ el discriminante de los cuales es $B^2-AC$ y la solución de la curva será una elipse, hipérbola o parábola dependiendo de si el discriminante es positivo, negativo o cero.
Parciales de segundo orden ecuaciones diferenciales de tomar una gran parte similar forma con $Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0$ y el discriminante juega un papel similar en la clasificación de las soluciones, de modo que se nombran después de las curvas algebraicas que se asemejan a esta expresión.
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