"Huecos" o "agujeros" en el sistema de números racionales

Question

En los Principios de Análisis Matemático 1.1 de Rudin, primero muestra que no hay ningún número racional $p$ tal que $p^2=2$. Luego crea dos conjuntos: $A$ es el conjunto de todos los números racionales positivos $p$ tal que $p^2<2$, y $B$ está formado por todos los números racionales positivos $p$ tales que $p^2>2$. Muestra que $A$ no contiene ningún número mayor y $B$ no contiene ningún número menor.

Y luego en 1.2, Rudin comenta que lo que ha hecho anteriormente es mostrar que el sistema de números racionales tiene ciertos vacíos. Sus comentarios me confundieron.

Mis preguntas son:

1. Si ya había demostrado que no hay ningún número racional $p$ con $p^2=2$, ¿esto significaba ya la conclusión de que el sistema de números racionales tiene "vacíos" o "huecos"? ¿Por qué necesitaba establecer el segundo argumento sobre los dos conjuntos $A$ y $B$?

2. ¿Cómo el segundo argumento de que "$A$ no contiene ningún número mayor y $B$ no contiene ningún número menor" mostró vacíos en el sistema de números racionales? Mi intuición no funciona aquí. ¿O no tiene nada que ver con la intuición?

Answer 1

Depende de lo que consideres una “brecha” en los números racionales. Mientras esto no sea un concepto definido formalmente, estamos hablando simplemente de nuestras concepciones cotidianas e informadas geométricamente de brechas.

El simple hecho de que una cierta ecuación no tenga una solución racional no parece ser una base para identificar una “brecha”. La ecuación $x^2=-1$ tampoco tiene solución en los números racionales, y este hecho también da lugar a una extensión del sistema de números (a los números complejos, en este caso), pero no encaja con nuestra noción cotidiana de una brecha llamar a esta deficiencia una “brecha”. Esto corresponde al hecho de que cuando llenamos la necesidad de resolver la ecuación $x^2=2$ introduciendo números irracionales, los representamos en el mismo eje que los números racionales, entre los números racionales, mientras que cuando llenamos la necesidad de resolver la ecuación $x^2=-1$ introduciendo números imaginarios, los representamos a lo largo de un eje diferente.

Por lo tanto, el simple hecho de que alguna ecuación no se pueda resolver no indica una brecha en el sistema de números, si por “brecha” nos referimos a algo similar a lo que entendemos por ello en el lenguaje cotidiano (donde una “brecha” ciertamente se representaría a lo largo del mismo eje que las cosas entre las que se encuentra). Por el contrario, el hecho de que puedas dividir los números racionales en dos conjuntos, con todos los números en un conjunto mayores que todos los números en el otro pero sin un número que marque el límite, parece sugerir que “debería” haber un número en el límite, de modo que, en un sentido no muy alejado de nuestro uso cotidiano de la palabra, hay una brecha en el límite.

Answer 2

Existe una diferencia entre una cosa que no existe en un conjunto y la existencia de una "brecha" correspondiente a esa cosa. Por ejemplo, no hay un número racional $p$ tal que $p > q$ para todos los números racionales $q$. ¿Significa esto que hay una "brecha" en los racionales correspondiente a algún número racional "más grande"? Creo que la mayoría de la gente argumentaría que no, no hay una "brecha" allí.

O, quizás más interesante, no hay un número racional $p$ tal que $p^2 = -1$. Para resolver la ecuación $p^2 + 1 = 0$, es necesario introducir la unidad imaginaria $i$ y el sistema de números complejos (o, tal vez, los racionales gaussianos; realmente no necesitamos un continuo). ¿Es la falta de existencia de un racional $p$ tal que $p^2 = -1$ una "brecha"? De nuevo, creo que la mayoría de la gente argumentaría que no lo es.

De manera similar, no es a priori obvio que la no existencia de un número racional (positivo) $p$ tal que $p^2 = 2$ represente algún tipo de brecha en el sistema de números racionales. Al mostrar que no existe tal $p$, todo lo que Rudin ha hecho es mostrar que no existe tal $p$. Esto parece tautológico (porque lo es), pero la situación es análoga a la no existencia de un número racional más grande o la unidad imaginaria.

Luego, Rudin demuestra que hay un "objeto similar a número racional", $s$, que se puede decir significativamente que tiene las siguientes propiedades:

• $s^2 = 2$,

• hay un conjunto de números racionales positivos $A$ tal que $a \in A$ implica que $a < s$, y

• hay un conjunto de números racionales positivos $B$ tal que $b \in B$ implica que $b > s$.

De esta manera, en un sentido muy significativo, este objeto $s$ encaja en el sistema de números racionales de manera natural. "Tapona un agujero" en los racionales. Contrasta esto con la unidad imaginaria $i$, que no encaja en el sistema de números racionales de ninguna manera natural—vive en un lugar que es ortogonal a los racionales.

Answer 3

La mejor opción aquí es leer el original de Dedekind Continuidad y números irracionales o su exposición en Hardy's Un curso de matemáticas puras.

La expansión de los sistemas numéricos puede ser vista impulsada por necesidades algebraicas a medida que uno avanza por el camino $\mathbb {N}\to\mathbb{Z} \to\mathbb {Q} $. Pero el siguiente paso a $\mathbb {R} $ es completamente no algebraico y no se basa en encontrar soluciones a ecuaciones polinómicas. Más bien, la necesidad es mejorar las relaciones de orden. Cuando uno intenta analizar la estructura del conjunto $\mathbb {Q} $ en términos de relaciones de orden $<, >$ una diferente clase de insuficiencia se nos presenta. La idea primero popularizada por Dedekind no es difícil de entender y es sorprendente por qué el tema no se aborda en el plan de estudios de la escuela secundaria.

Dedekind utiliza la intuición geométrica y argumenta que si deseamos que el sistema numérico como $\mathbb{Q} $ represente todos los puntos en una línea recta entonces estamos en serios problemas. La existencia de un punto correspondiente a la raíz cuadrada de $2$ está garantizada por el teorema de Pitágoras pero esos puntos (incluyendo todos los puntos obtenidos a través de construcciones geométricas) no son los únicos en la recta numérica que no pertenecen a $\mathbb {Q} $ sino que hay muchos más de varios tipos.

Por ejemplo, podemos intentar imaginar la existencia de un punto $a$ tal que $a^3=2$. Tal número no está disponible en $\mathbb {Q} $. Pero en lugar de resolver $a^3=2$ podemos ver las desigualdades $a^3<2$ y $a^3>2$. Esto nos lleva a estudiar la partición de $\mathbb {Q} $ en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A$ y $B$ cada uno correspondiente a números que satisfacen estas desigualdades. La idea de Dedekind es que a medida que intentamos tomar números más y más grandes en $A$ y números más y más pequeños en $B$ sus cubos se acercan más y más a $2$. Y luego Dedekind se da cuenta de que la clave aquí no son las ecuaciones algebraicas y las desigualdades relacionadas sino la partición de $\mathbb {Q} $ en dos conjuntos $A, B$ tal que son no vacíos, disjuntos y exhaustivos y además cada miembro de $A$ es menor que cada miembro de $B$.

Él estudia tales particiones en detalle y muestra que solo hay tres posibilidades cuando hacemos tal partición:

• $A$ tiene un mayor elemento
• $B$ tiene un menor elemento
• Ni $A$ tiene un mayor elemento ni $B$ tiene un menor elemento.

Estas posibilidades son mutuamente excluyentes y exhaustivas. Las dos primeras posibilidades muestran que a medida que nos movemos del conjunto $A$ al conjunto $B$ basado en el orden, hay un punto de límite que está al final de $A$ o al comienzo de $B$ y este punto límite es tal que todos los números menores que él están en $A$ y todos los mayores que él están en $B$. La tercera posibilidad no nos da tal punto límite.

Luego, Dedekind dice que esta es una característica definitoria de la idea de una línea recta geométrica en el sentido de que si cortamos la línea en dos partes a través de un punto, entonces exactamente una de las dos partes debe incluir ese punto de división. Esto no es exactamente un teorema derivado de los axiomas de la geometría euclidiana pero Dedekind siente que esto es lo que debería ser la naturaleza intrínseca de una línea recta si se supone que está compuesta por una serie de puntos tal que se pueda ir de un punto de la línea a otro de forma continua. Esto se basa en la creencia de que una línea es conectada/continua/no tiene brechas.

Y como se mencionó anteriormente, el sistema de racionales no es continuo/conectado/sin brechas de la forma en que una línea recta lo es y por lo tanto no puede representar todos los puntos de una línea. Dedekind dice que las dos primeras posibilidades al particionar los números racionales corresponden al número racional que es el punto límite de la partición. Y la tercera posibilidad nos lleva a un nuevo tipo de número llamado número irracional que se supone actúa como un punto límite.

Dedekind da un nombre a tal partición de racionales en dos conjuntos: un corte. Y desarrolla las nociones de relaciones de orden y operaciones algebraicas en tales cortes. La aritmética que surge de todo este ejercicio coincide con la aritmética de los racionales cuando los cortes corresponden a racionales. Y así ya tenemos una expansión de números porque hay cortes que no corresponden a racionales. Así es como Dedekind construye el sistema de números reales $\mathbb{R} $ como un conjunto de cortes.

Y luego muestra que se logra el objetivo final de la expansión. Cuando uno intenta hacer un corte al particionar los reales en dos conjuntos $A$ y $B$ de manera análoga entonces siempre hay un punto límite entre los dos. Y el sistema no tiene brechas como lo tenía $\mathbb {Q} $ y se puede usar para representar todos los puntos de una línea recta.

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La mayoría de las presentaciones modernas del enfoque de Dedekind (especialmente aquellas que aparecen en libros de análisis real) están totalmente desmotivadas y están escritas como si el autor estuviera muy poco interesado y solo lo estuviera haciendo como una formalidad.

La escritura de Dedekind muestra cómo todo esto se desarrolla desde cero y da muchas explicaciones intuitivas. En mi opinión, entender la construcción de números reales desde cero (idealmente antes de haber escuchado cualquier término relacionado con cálculo como límites) es esencial para un estudio a fondo del cálculo/ análisis real y el esfuerzo es muy gratificante.

Answer 4

Cuando Rudin describe el sistema de números racionales como teniendo "espacios" mientras que el sistema de números reales no lo hace, está describiendo en términos rigurosos lo que podemos pensar intuitivamente como trazar una línea vertical a través, o "cortar", la línea horizontal de números.

En el caso de los números racionales, Rudin ha demostrado que hay un lugar que divide todos los números racionales en dos conjuntos disjuntos: aquellos menores que $\sqrt 2$ y aquellos mayores que $\sqrt 2$. Es importante señalar que este "corte" en realidad no cae en ningún número racional, y ni siquiera necesitamos definir números irracionales (como $\sqrt 2$) para construir estos conjuntos. En este sentido, los números racionales tienen "espacios" (más formalmente, son incompletos). Si divides la línea de números racionales en un punto aleatorio, puedes caer en un número, o puedes errar.

Contrasta esto con los números reales. Si tomamos este proceso similar de cortar la línea de números reales, encontramos que nunca "erraremos" un número real con uno de nuestros cortes. No importa dónde tracemos nuestra línea vertical, estamos garantizados de alcanzar un número real. Es en este sentido que los números reales son completos (no tienen "espacios"). De hecho, la primera construcción rigurosa de los números reales (debido a Dedekind) utilizó este exacto método de dividir los números racionales en conjuntos disjuntos y definir el punto de división de estos cortes como lo que ahora llamamos números reales.

Answer 5

Considere la parábola P y la recta L cuyas ecuaciones son

$$y=2-x^2$$

y

$$y=0.$$

L corta de un lado de P al otro en el punto $(\sqrt2,0)$, pero si $x$ y $y$ tienen que ser números racionales, entonces este punto no existe. Así que tenemos el resultado de que en el plano racional, las curvas pueden cruzarse sin tener un punto de intersección. Esto viola fuertemente la intuición geométrica de la mayoría de las personas, sugiriendo que el plano de números racionales no es un modelo válido de nuestras nociones geométricas sobre el espacio. Por ejemplo, la primera prueba en los elementos de Euclides falla en el plano de números racionales, pero Euclides no percibió esto como un problema que ni siquiera necesitaba ser discutido, porque era tan obvio que las curvas que se cruzaban debían intersectarse.

Para hacer un modelo que se ajuste mejor a nuestra intuición, podemos hacer un axioma como este: Sean A y B conjuntos de números tales que cada número en A es menor que cada número en B. Entonces existe algún número z tal que z es mayor o igual a cada número en A, pero menor o igual a cualquier número en B.

Con este axioma, podemos demostrar que P y L se intersecan. Ya no tenemos un espacio en el eje x lo suficientemente grande como para que pase una línea a través de él.