Hay varias preguntas aquí en la MO sobre el Cantor-Bernstein-Schröder (C)BS) teorema, pero no pude encontrar las respuestas a lo que surgió para mí recientemente.
Aunque yo no creo que es necesario recordar aquí, el teorema establece que si hay incrustaciones $i:A\hookrightarrow B$, $j:B\hookrightarrow A$ luego hay un bijection entre el $A$ e $B$.
Primera pregunta -
Como se ha explicado en varias respuestas a una de esas preguntas, CBS no es constructiva válido. Hace validez de la CBS en realidad implican medio excluido? Si no - ¿CBS implica no trivial (es decir, no intuitionistically válido) proposicional frase?
La motivación viene de Diaconescu el teorema de que el Axioma de Elección implica medio excluido. De nuevo, como se ha mencionado en varias de las respuestas a las preguntas anteriores validez de la CBS no requiere de elección, pero esto no excluye la posibilidad de que, por ejemplo, el proposicional parte de alguna forma constructiva de la teoría de conjuntos + CBS es estrictamente más fuerte que la "mera" intuitionism. Por cierto, el artículo de la Wikipedia que he ligado por Diaconescu del teorema menciona que es en forma de un Problema (Problema 2 en la página 58) del Obispo "Fundamentos de análisis constructivo". Lo que allí se dice, literalmente, es "la Construcción de una surjection que es no a", y todo el conjunto de problemas tiene una instrucción diciendo que el no ha de entenderse en el sentido de la discusión al final de la Sección 2. Lo que se dice en esa discusión parece indicar que uno tiene que trabajar en intuitionistic lógica aunque estoy no seguro.
Menciono todo esto para ilustrar que no podrían ser algunos de los puntos sutiles involucrados. De todos modos, aquí está mi
Segunda pregunta -
Es allí una manera constructiva afirmación válida que se convierte en equivalente para la CBS bajo medio excluido?
De nuevo, puede ser que no es obvio cuál es el sentido preciso de esta, pero te voy a dar otra pieza de la motivación. Uno podría reemplazar a $B$ con $j(B)\subseteq A$, luego de la CBS se convierte en equivalente a la siguiente:
Dado un inyectiva auto-mapa de $e:A\hookrightarrow A$, para cualquier $e(A)\subseteq A'\subseteq A$ hay un bijection entre el $A$ e $A'$.
Ahora recuerdo que Lawvere la noción de que el objeto de los números naturales (NNO) puede ser equivalentemente, dado como la inicial de álgebra para el functor $A^+:=A\sqcup 1$. Es decir, el NNO se caracteriza hasta el isomorfismo como un objeto $N$ equipada con un mapa de $N^+\to N$ e inicial entre los objetos con dicha estructura. Por Lambek del lema que sigue a continuación, que esta $N^+\to N$ es un isomorfismo. Puede ser también muestra que si $A^+\to A$ es mono, a continuación, la inducida por el mapa de $N\to A$ es demasiado mono.
En vista de esta y de la anterior reformulación de la CBS es natural preguntarse ¿qué pasa si uno reemplaza a 1 con algún otro objeto $T$. De forma similar a la declaración de arriba en negrita, si hay un mono $A\sqcup T\rightarrowtail A$ entonces $A$ contendrá una copia de la inicial $\_\sqcup T$-álgebra, en particular, un subobjeto $I\rightarrowtail A$ con $I\sqcup T$ isomorfo a $I$.
El último de alguna manera sugiere una forma de la anterior equivalente de la CBS con complementado "resto". Todavía la formulación se me escapa, aunque tengo la sensación muy fuerte no debe ser algo preciso detrás de él. Y aunque a primera vista esto parece un inspirador de debilitamiento, el ejemplo de la NSIN muestra que podría ser interesante: $0:1\to N$ es un complementado elemento más o menos por definición, pero esto no hace que la noción de NSIN demasiado débil.
Me doy cuenta de que todo esto no agrega mayor claridad a la segunda pregunta, pero entonces si sería claro para mí que yo no habría necesidad de pedir :D
Un poco más tarde
Inspirado por las menciones de decidability en Andrej Bauer respuesta, aquí es un boceto de uno de los candidatos: me parece bastante plausible que constructivamente $A\sqcup A_1\sqcup A_2\cong A$ implica $A\sqcup A_1\cong A$. Es así? En caso de que lo es, se puede hacer mejor? Es decir, ¿existe todavía una manera constructiva afirmación válida, obviamente, lo que implica que el anterior, pero no, obviamente, equivalente? De alguna manera siento que también debe ser una menos "complementa" la versión...
...y más tarde - Ingo Blechschmidt comentó con un enlace a un n de la categoría de café de entrada que a su vez tenía un enlace a "Tema y variaciones: Schröder-Bernstein" en el Secreto de los Blogs Seminario; parece estar relacionado, aunque no puedo encontrar las respuestas a las preguntas allí.
