el primer ideales en C([0,1])

Question

Está claro que cada ideal maximal en el anillo de funciones continuas sobre $[0,1]\subset \mathbb R$ corresponde a un punto y viceversa.

Así, para cada ideal $I$ definir $Z(I) =\{x\in [0,1]\,|\,f(x)=0, \forall f \in I\}$. Pero map $I\mapsto Z(I)$ de los ideales a los conjuntos cerrados no es una inyección! (Considere el ideal $J(x_0)=\{f\,|\,f(x)=0, \forall x\in\hbox{ some closed interval which contains }x_0\}$)

¿Cómo podemos describir ideales en $C([0,1])$ ? Es cierto que el primer ideales son máximas para este anillo?

Answer 1

Aquí es un camino para la construcción de un no-máxima primer ideal: considere el conjunto multiplicativo $S$ de todos los no-cero polinomios en $C[0,1]$. El uso de Zorn lema para conseguir un ideal $P$ que es disjunta de $S$ y es maximal con esta propiedad. $P$ es claramente prime (para esto sólo se necesita $S$ a ser multiplicativa.) Por otro lado $P$ no puede ser de cualquiera de los máximos ideales, ya que no contiene $x-c$ por cada $c \in [0,1]$.

Answer 2

Hay muchos primeros ideales que no son de la máxima. Usted puede encontrar algunas cosas por buscar en Google "primer ideales en $C(X)$" (por ejemplo, que cada ideal maximal es la suma de dos adecuada primer ideales).

El problema es que el primer ideales no están cerrados a menos que sean de la máxima. El cerrado ideales en $C(X)$ para $X$ compacto Hausdorff están en correspondencia 1-1 con los subconjuntos cerrados de $X$. Este hecho es, en muchos libros, por ejemplo, es un ejercicio en el capítulo 11 de Rudin del Análisis Funcional.

EDITAR 8/17: Hay un montón de información sobre el primer ideales en $C(X)$ en los Capítulos 7 y 14 del libro de los Anillos de Funciones Continuas por Gillman y Jerison, mencionado ya por Yemon.

Answer 3

He encontrado este artículo sobre el Proyecto de Euclides, echar un vistazo.

El PRIMER IDEALES EN ANILLOS DE FUNCIONES CONTINUAS por CARL W. KOHLS

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255454113

Answer 4

En respuesta a tu primera pregunta, usted probablemente querrá pensar acerca de cerrado ideales (es decir, cerrado en el sup norma). (Bares y rayas discontinuas superiores parecen representar mal, así que voy a usar un primer para denotar el cierre.) Para $A \subset [0,1]$ dejamos $I(A) = \lbrace f : f = 0 \text{ on } A \rbrace$, que es claramente un ideal.

Las siguientes son todas verdaderas y sobre todo fácil de demostrar:

1. $Z(I)$ es cerrado en $[0,1]$ para cualquier ideal $I$
2. $Z(I) = Z(I')$
3. $Z(I(A))=A'$
4. $I(A)$ es cerrado en $C([0,1])$ cualquier $A \subset [0,1]$
5. $I(A) = I(A')$
6. $I(Z(I))=I'$ para cualquier ideal $I$.

Answer 5

Creo que este papel puede ser de alguna ayuda. Aunque esto puede no ser la primera fuente, se tiene una proposición que dice que, dado un punto de $p\in [0,1]$, uno puede encontrar no maximal primer ideales $\mathfrak{p}_1,\mathfrak{p}_2$ tal que $\mathfrak{m}_p$, el máximo ideal en $p$, es la suma de $\mathfrak{p}_1$ e $\mathfrak{p}_2$. Ellos toman una secuencia de puntos de $x_n$ convergentes a $p$ y, a continuación, utilizar dos diferentes ultrafilters en $D= \{ x_n \}_{n\geq 1}$ a definir los dos primeros ideales.