Declaración del problema
Me tomó un examen, donde tuve la siguiente tarea: Determinar el potencial electrostático para la distribución de carga $$\varrho(\mathbf{r}) = \sigma \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y)$$
Enfoque 1
Solvong el Coulomb integral es inútil, como $$ \phi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\varrho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}^3 r' = \sigma \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}y \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}z \, \frac{\cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y)}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}} $$ no es integrable.
Enfoque 2
La solución de ecuación de Poisson es la única otra posibilidad, que vino a mi mente. En aparatos eléctricos y magnéticos y las unidades de $$ \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - 4 \pi \varrho(\mathbf{r}) $$ Ahora empecé de Fourier-la transformación de la ecuación, donde $\mathbf{k}^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$ $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^3}} \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' &= - \frac{4 \pi }{\sqrt{(2 \pi)^3}} \int_{\mathbb{R}^3} \varrho(\mathbf{r}) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \int_{\mathbb{R}^3} \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \int\limits_{-\infty}^{\infty} \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_x x} \, \mathrm{d}x \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_y y} \, \mathrm{d}y \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \cdot \frac{1}{2} \left( \delta\left(k_x - \frac{2 \pi}{L}\right) + \delta\left(k_x + \frac{2 \pi}{L}\right) \right) \cdot 1 \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z \end{aligned} $$ Y aquí estoy atascado, porque el resto de la integral $$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z $$ no convergen.
Resumen: ¿Qué estoy haciendo mal? Es mi enfoque equivocado, o yo calculan mal algo?