La solución de ecuación de Poisson para $\varrho(\mathbf{r}) = \sigma \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y)$

Question

Declaración del problema

Me tomó un examen, donde tuve la siguiente tarea: Determinar el potencial electrostático para la distribución de carga $$\varrho(\mathbf{r}) = \sigma \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y)$$

Enfoque 1

Solvong el Coulomb integral es inútil, como $$ \phi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\varrho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}^3 r' = \sigma \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}y \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}z \, \frac{\cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y)}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}} $$ no es integrable.

Enfoque 2

La solución de ecuación de Poisson es la única otra posibilidad, que vino a mi mente. En aparatos eléctricos y magnéticos y las unidades de $$ \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - 4 \pi \varrho(\mathbf{r}) $$ Ahora empecé de Fourier-la transformación de la ecuación, donde $\mathbf{k}^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$ $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^3}} \int_{\mathbb{R}^3} \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' &= - \frac{4 \pi }{\sqrt{(2 \pi)^3}} \int_{\mathbb{R}^3} \varrho(\mathbf{r}) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \int_{\mathbb{R}^3} \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \delta(y) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \mathrm{d}^3 r' \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \int\limits_{-\infty}^{\infty} \cos\left(\frac{2 \pi}{L} x\right) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_x x} \, \mathrm{d}x \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_y y} \, \mathrm{d}y \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z \\ \mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) &= - 4 \pi \sigma \cdot \frac{1}{2} \left( \delta\left(k_x - \frac{2 \pi}{L}\right) + \delta\left(k_x + \frac{2 \pi}{L}\right) \right) \cdot 1 \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z \end{aligned} $$ Y aquí estoy atascado, porque el resto de la integral $$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z $$ no convergen.

Resumen: ¿Qué estoy haciendo mal? Es mi enfoque equivocado, o yo calculan mal algo?

Answer 1

Tenga en cuenta que en la central unitaria de definición de la transformada de Fourier: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} 1\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \, \mathrm{d}z=\sqrt{2\pi}\delta(k_z).$$ Para ver por qué, inversa de la transformada de Fourier de ambos lados de impulso nuevo espacio para el dominio espacial: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} 1\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_z z} \,{dz}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_z z} {dk_z}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2\pi}\delta(k_z)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_z z} {dk_z}=1,$$ así que esta es una transformada de Fourier par de funciones. De manera más general: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \text{exp}\left[{\mathrm{i} k_y y_0}\right]\text{exp}\left[-{\mathrm{i} k_y y}\right] \,{dk_y}=\sqrt{2\pi}\delta(y-y_0)$$ y la identidad anterior de la siguiente manera de dejar a $y_0=0$.

Parte 1
Vamos a ver si la Delta de Dirac función de la respuesta, a continuación, comprueba hacia fuera, definir (nota corregido signo): $$\mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k}) = 4\pi \sigma \hat{I_1}(k_x)\hat{I_2}(k_y) \hat{I_3}(k_z) , \etiqueta{1}$$ $$\hat{I_1}(k_x)=\sqrt{2\pi}\frac{1}{2} \left( \delta\left(k_x - \frac{2 \pi}{L}\right) + \delta\left(k_x + \frac{2 \pi}{L}\right) \right),$$ $$\hat{I_2}(k_y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}},$$ $$\hat{I_3}(k_z)=\sqrt{2\pi}\delta(k_z),$$

entonces la transformada de Fourier en el dominio espacial:

$$\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\limits_{\mathbb{R}^3}\mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}{d\mathbf{k}}=$$ $$\frac{4\pi\sigma}{(2\pi)^{3/2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_1}(k_x)\,e^{\mathrm{i} k_x x}{dk_x}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_2}(k_y)\,e^{\mathrm{i} k_y y}{dk_y}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_3}(k_z)\,e^{\mathrm{i} k_z z}{dk_z},$$

$$\frac{-1}{(2\pi)^{3/2}}\int\limits_{\mathbb{R}^3}\mathbf{k}^2 \, \hat{\phi}(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}{d\mathbf{k}}=\nabla^2 \phi(\mathbf{r}),$$

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_1}(k_x)\,e^{\mathrm{i} k_x x}{dk_x}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \left[ \delta\left(k_x - \frac{2 \pi}{L}\right) + \delta\left(k_x + \frac{2 \pi}{L}\right) \right]\,e^{\mathrm{i} k_x x} {dk_x}\\&=\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right),\end{aligned}

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_2}(k_y)\,e^{\mathrm{i} k_y y}{dk_y}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,e^{\mathrm{i} k_y y} {dk_y}=\delta(y),$$

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{I_3}(k_z)\,e^{\mathrm{i} k_z z}{dk_z}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sqrt{2\pi}\delta(k_z) \,e^{\mathrm{i} k_z z} {dk_z}=1,$$

y por lo tanto: $$\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - 4 \pi \sigma\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\delta(y),\tag{2}$$ $$\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = - 4 \pi\varrho(\mathbf{r}) .$$

Así que parece que funciona si se introduce el poco acerca de la transformada de Fourier de $1$ ser una función delta en cero.

Parte 2

De $(1)$ entonces tenemos:

$$\hat{\phi}(\mathbf{k}) = \dfrac{4\pi \sigma \sqrt{2\pi}\frac{1}{2} \left[ \delta\left(k_x - \frac{2 \pi}{L}\right) + \delta\left(k_x + \frac{2 \pi}{L}\right) \right]\delta(k_z)}{k_x^2+k_y^2+k_z^2},$$

\begin{aligned} \phi(\mathbf{r})&=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\limits_{\mathbb{R}^3} \, \hat{\phi}(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}{d\mathbf{k}},\\&=\frac{\sigma\cos\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{4\pi}{\left(\dfrac{2\pi}{L}\right)^2+k_y^2}\,e^{ik_y y}{dk_y},\\&=L\,\sigma\cos\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\text{exp}\left[{-\dfrac{2\pi}{L}|y|}\right]\,,L\ge0. \tag{3}\end{aligned} En $y\ne0$, $(3)$ resuelve la ecuación homogénea: $$\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) =0,$$ como se requiere y en $y=0$ la derivada de $(3)$ w.r.t $y$ no está definido en el sentido convencional, como el límite de la derivada no es el mismo de ambos lados, sin embargo como @O. L señala en los comentarios, el cálculo de los derivados en la distribución sentido conduce a la $\delta$ función en $y=0$ (ver abajo).