Si $S_\mathbb N$ se divide en un número finito de piezas, debe de una pieza contienen un "sesgo copia" de cada contables de grupo?

Question

Supongamos $G$ e $H$ son grupos. $C \subseteq H$ es el llamado sesgo de copia de $G$ en $H$ si $C = hK$ para algunos $h \in H$ y algunos de los subgrupos $K$ de $H$ con $K \cong G$.

Pregunta 1: Supongamos que el infinito grupo simétrico $S_\mathbb N$ se divide en un número finito de piezas. Debe una de estas piezas contienen un sesgo copia de cada contables de grupo?

Dados dos grupos de $G$ e $H$, vamos a escribir $H \rightarrow G$ significa que siempre que $H$ se divide en un número finito de piezas, una de las piezas que contiene un sesgo copia de $G$.

Pregunta 2: Si la respuesta a la Pregunta 1 es negativo, es cierto que hay algunos (posiblemente muy grande) grupo $H$ tal que $H \rightarrow G$ por cada contables de grupo $G$?

Lo que sabemos hasta ahora acerca de esta pregunta es:

$(1)$ La respuesta a la Pregunta 1 es positivo si y sólo si $S_\mathbb N \rightarrow G$ por cada contables de grupo $G$.

$(2)$ $S_\mathbb N \rightarrow G$ para cada grupo finito $G$. De hecho, algo un poco más fuerte es verdadera: para cada grupo finito $G$ y cada una de las $r \in \mathbb N$, no es un grupo finito $H$ que si $H$ se reparte en $r$ piezas, entonces uno de ellos contiene un sesgo copia de $G$.

$(3)$ Si $S_\mathbb N$ se divide en un número finito de Borel piezas (o, un poco más liberal, piezas con la Propiedad de Baire), una de las piezas que contiene un sesgo copia de $S_\mathbb N$, y por lo tanto contiene un sesgo copia de cada contables del grupo. No sé si la Propiedad de Baire puede ser reemplazado con Lebesgue mensurabilidad.

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es no.

Para cada grupo de $G$, por inducción en $|G| = \kappa$, vamos a construir una partición $G = A \sqcup B$ tal que para cada $g, h \in G$si $g$ tiene infinitas para, a continuación, $h\langle g\rangle$ cumple con ambos $A, B$ sobre un conjunto infinito -- Llamar a dicha partición de $G$ buena. Si $\kappa = \aleph_0$, esto es claro para asumir $|G| = \kappa \geq \aleph_1$ y corregir continuamente creciente secuencia $\langle H_{\alpha}: \alpha < \kappa \rangle$ de los subgrupos de $G$ tal que $|H_{\alpha}| = |\alpha + \omega|$ e $G = \bigcup \{H_{\alpha}: \alpha < \kappa\}$. Para cada una de las $\alpha < \kappa$, vamos a $H_{\alpha} = A'_{\alpha} \sqcup B'_{\alpha}$ ser una buena partición de $H_{\alpha}$. Para $\alpha \leq \kappa$, definir $A_{\alpha}, B_{\alpha}$ como sigue. $A_0 = A'_0$ e $B_0 = B'_0$, $A_{\alpha + 1} = A_{\alpha} \cup (A'_{\alpha + 1} \setminus H_{\alpha})$ e $B_{\alpha + 1} = B_{\alpha} \cup (B'_{\alpha + 1} \setminus H_{\alpha})$ e si $\gamma \leq \kappa$ es el límite, a continuación, $A_{\gamma} = \bigcup \{A_{\alpha}: \alpha < \gamma\}$ e $B_{\gamma} = \bigcup \{B_{\alpha}: \alpha < \gamma\}$. Veamos, por inducción en $\alpha \leq \kappa$que $A = A_{\alpha}$, $B = B_{\alpha}$ formar una buena partición de $H_{\alpha}$. Si $\alpha = 0$ o un límite, esto es claro. Así que supongamos $A_{\alpha}, B_{\alpha}$ formar una buena partición de $H_{\alpha}$ y mostraremos $A_{\alpha+1}, B_{\alpha+1}$ formar una buena partición de $H_{\alpha + 1}$. Fix $g, h \in H_{\alpha + 1}$ tal que $g$ es de torsión libre. Tenemos los siguientes casos.

Caso 1: $g \in H_{\alpha}$. Si $h \in H_{\alpha}$, esto es claro. Si $h \notin H_{\alpha}$, a continuación, tenga en cuenta que $h \langle g\rangle \subseteq H_{\alpha + 1} \setminus H_{\alpha}$ e $A'_{\alpha + 1}, B'_{\alpha + 1}$ formar una buena partición de $H_{\alpha + 1}$.

Caso 2: No Caso 1. Si $|h\langle g\rangle \cap H_{\alpha}| \leq 1$, entonces esto es claro como el $A'_{\alpha + 1}, B'_{\alpha + 1}$ formar una buena partición de $H_{\alpha + 1}$. Si no, entonces para algunos $n \neq m$, $hg^n, hg^m \in H_{\alpha}$ e lo $g^{n - m} \in H_{\alpha}$. Ahora se aplicará en el Caso 1.