Como Michael Klug señala en los comentarios, he pensado acerca de las preguntas relacionadas con el antes. Voy a hacer un par de comentarios sobre la pregunta.
En primer lugar, la habitual reducción permite considerar las triangulaciones sobre una superficie: si un gráfico de $G$ no induce una triangulación de $\Sigma$, entonces se puede completar a una triangulación $G'$ así que si $G'$ (o una cubierta $\hat{G'}$ inducida por una cubierta de $\hat{\Sigma}$) es de 4 engañosa lo es $G$ (o $\hat{G}$).
Así que vamos a suponer que $G$ induce una triangulación de $\Sigma$. Entonces el grafo dual $G^*$ (con respecto a la integración en $\Sigma$) es un cúbicos gráfico. Si $G^*$ es de 3 edge-engañosa (es decir, tiene un Tait para colorear), entonces uno puede ver que un $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$-cubierta $\hat{\Sigma}\to \Sigma$ le dará un ascensor de $G$ 4-engañosa. Para probar esto, identificar los tres colores con los no-cero de los elementos de la Klein 4-grupo de $V=\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$. Luego de colorear los vértices de $G$ corresponde a colorear las caras de $G^* \subset \Sigma$. Si tenemos en color de una cara de $G^*$ por $0\in V$, entonces cada vez que se cruza un borde de $G$, podemos cambiar el color, añadir el elemento de $V$ correspondiente a la orilla para colorear. Este es localmente bien definidas cerca de un vértice, a nivel mundial, pero podría haber holonomy en $V$. Por lo que pasar 4 veces cubierta de $\hat{\Sigma}\to \Sigma$ inducida por este holonomy, obtenemos una tira de devolución de la gráfica de $\hat{G}$ 4-engañosa. (En los planos caso, no hay ninguna holonomy, y por lo tanto Tait la observación de que Tait colorantes suficiente).
Por lo tanto es suficiente con considerar el 3 de borde de colorantes cúbicos de gráficos en $\Sigma$. El Snark teorema implica que si la gráfica de $G^*$ no 3-borde engañosa, entonces hay una Petersen menor (es decir, una copia de la Petersen gráfico incrustado topológicamente en $G^*$). El gráfico de Petersen no es plana, por lo que debe estar integrada en una forma esencial en $\Sigma$ (no isotópicos en un disco). Por lo tanto, cualquier Petersen subgrafo de $G^*$ no se eleva a unos 2 veces cubierta de $\Sigma$. Sin embargo, el paso de una cubierta a la que no Petersen subgrafo ascensores, puede haber nuevas Petersen subdiagramas de $\hat{G^*}$ creado. Sin embargo, uno puede preguntarse si hay un número finito de cubierta $\hat{\Sigma}\to \Sigma$ tal que la preimagen de cualquier incrustado cúbicos gráfico en $\Sigma$ no es un Snark? Parece inverosímil, pero es una pregunta natural cuando se piensa acerca de virtual Tait para colorear.
Uno puede debilitar la condición de Tait para colorear, que permite el paso a un número finito sábana cubierta. Si un cúbicos gráfico de $G^*$ tiene un perfecto maridaje (también llamado 1-factor, un grado 1 regular subgrafo que abarca los vértices), entonces el complemento de subgrafo es un 2-factor, es decir, un regular subgrafo de grado 2 que contiene todos los vértices, homeomórficos a una unión de círculos, cada componente de un ciclo de la gráfica . Si el 2-factor también es bipartito (2-engañosa, r cada componente tiene un número par de aristas), entonces podemos 2-color de la 2-factor y el uso de un tercer color para el 1-factor para obtener una Tait para colorear de $G^*$. Entonces podemos mirar para un 2-factor de $C\subset G^* \subset \Sigma$ tal que todos los no-bipartita componente de $C$ es no trivial de la curva en $\Sigma$. En este caso, nos puede pasar a un $2^{2g}$-pliegue de la cubierta en el que cada vez la no-separación de la curva tiene cada componente de la preimagen un índice de la cubierta, y cada una separación esencial de la curva tiene preimagen de los componentes de la no-separación, y repito, para obtener un número finito de la cubierta para que la preimagen de cada esenciales de la curva es incluso un índice de cada componente. A continuación, la preimagen de un 2-factor con las propiedades anteriormente mencionadas será un bipartito 2-factor, y por lo tanto, la preimagen gráfico 3-engañosa (y más de 4 veces de la cubierta va a dar un 4-engañosa de doble triangulación).
Uno sabe que cada bridgeless cúbicos gráfica tiene una perfecta coincidencia (o 1-factor, y por lo tanto de un 2-factor), conocido como Petersen del teorema. Uno podría tratar de modificar la prueba para mostrar que un gráfico de $G^*\subset \Sigma$ tiene un 2-factor impar ciclos esenciales. Pero no veo cómo hacerlo. En cualquier caso, parece posiblemente más fácil encontrar un controlado de la cubierta de $\Sigma$ donde la preimagen de cada cúbicos gráfica tiene un 2-factor esencial impar ciclos.
Otro caso especial es triangulaciones, incluso de grado. A continuación, trataremos de 3 colores de los vértices. Una vez que uno de 3 colores de los vértices de un triángulo, no hay una única manera de continuar con el colorante, bien definida localmente alrededor de un vértice debido a la aún grado hipótesis. Esto puede tener no trivial holonomy, pero pasando a un $S_3$-cubierta (de índice 6), obtenemos una preimagen que es un 3-engañosa gráfico. Esto funciona por ejemplo, para $K_7\subset T^2$.
En última instancia, este problema debe ser tan duro como el 4-color teorema de sí mismo. Dado un gran gráfico incrustado en una disco, uno debería ser capaz de insertar en un disco sobre una superficie $\Sigma$ de género $>0$ como un subgrafo. Colorear el gráfico gráfico de mayor tamaño en un número finito de sábana cubierta induce un colorante de la plana gráfico. Así que yo creo que es probable que tenga que utilizar el 4-color teorema o partes de su prueba como un ingrediente esencial en la resolución de esta cuestión.
Una reducción que he contemplado es el de hacer que el surace el límite de una handlebody, y pasar a la universalización de la cobertura de la handlebody. La preimagen de la frontera es una superficie plana, por lo que la preimagen de la gráfica de $\tilde{G}$ es de 4 engañosa. El
espacio de 4-colorantes de $\tilde{G}$ es un subconjunto cerrado del conjunto de Cantor $4^\tilde{V}$, donde $\tilde{V}$ es el vértice conjunto de $\tilde{G}$. La cubierta traducciones formar un rango de $g$ libre de grupo. Si existe una medida de probabilidad sobre el espacio de los colorantes que es invariante bajo la libre acción del grupo, entonces me puede demostrar que existe un número finito de sábana cubierta (inducida por una cubierta de la handlebody), que es de 4 engañosa, utilizando un teorema de Lewis Bowen. Sin embargo, no he sido capaz de demostrar la existencia de una medida de probabilidad (de nuevo, esto puede requerir la no-trivial de entrada de la prueba de la 4-color teorema). Se podría hacer algo similar con 2-factores de cúbicos de gráficos, donde cada contráctiles ciclo es bipartito, y pedir un invariante de la probabilidad de medir en estos. Este enfoque, si funciona, es probable que no dan un uniforme finito-toldo de cubierta.
