Sumas armónicas y teoría elemental de los números

Question

¿Qué número natural puede representarse como producto de una suma de números naturales y una suma de sus inversos? Es decir, ¿existe para un número natural $n$ un conjunto de números naturales $\{a_1, a_2,...a_m\}$ tal que $n = (a_1 + a_2 + ...+a_m)(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... +\frac{1}{a_m})$ ? Llame a $n$ bueno si tal conjunto existe, no tienen que ser distintos.

Todo $n = k^2$ son buenos, si n es bueno entonces $2n + 2$ es bueno también, 10 y 11 son buenos, 2,3,5,6,7,8 no. Soy demasiado perezoso para comprobar más, especialmente si hay una solución por ahí, por favor, me apunte si usted sabe uno.

¿Existe una constante $C$ de manera que todos los $n \geq C$ ¿son buenas? ¿Y si dejo que $a_i$ s a ser negativo?

Ahora mathoverflow me dio un enlace a otra pregunta Estimación del tamaño de las soluciones de una ecuación diofantina que da 14 como un buen número (duro). Además, hay un enlace a un artículo muy bonito "An Unusual Cubic Representation Problem" de Andrew Bremner y Allan MacLeod que da un montón de soluciones ya para $m = 3$ en la página 38 aquí http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_43_from29to41.pdf para todos sus $N$ obtenemos $2(N + 3)$ para ser bueno. Así que si tomamos $C = 30$ , entonces todos los pares $N \geq C$ son buenas (necesita una prueba clara).

Pregunta Sigue habiendo dudas sobre lo que ocurre con impar $N$ s. Y tal vez es digno de preguntar si podemos restringir $m$ . Es decir, ¿cuál es el menor $k$ tal que cualquier bien $N$ puede representarse como un producto anterior con $k \geq m$ ?

Answer 1

Graham (1963) demostró que cualquier número entero $n>77$ puede representarse como $$ n = a_1 + \dots + a_m,$$ donde $a_i$ son enteros positivos distintos con $$\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_m} = 1.$$ Por lo tanto, cualquier número entero $n>77$ es bueno.

Por cierto, recientemente he extendió el resultado de Graham a las sumas de cuadrados .

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ACTUALIZACIÓN. En cuanto al mayor número no bueno (¿malo?), sabemos que $8$ no es bueno, mientras que OEIS A028229 deja sólo siete candidatos más para el mayor número no bueno: $12, 13, 14, 15, 19, 21$ o $23$ .

Números $14, 15, 19, 21, 23$ son buenos con los correspondientes $\{ a_i\}$ ser $\{ 2, 3, 10\}$ , $\{1, 2, 6\}$ , $\{ 5, 8, 12, 15\}$ , $\{ 8, 14, 15, 35\}$ y $\{76, 220, 285, 385\}$ respectivamente.

Por lo tanto, sólo quedan 3 candidatos para el mayor número no bueno: $8, 12$ o $13$ . Mientras que los dos últimos candidatos sólo pueden ser buenos con $m=3$ , El enfoque de MacLeod (Sec. 6.2) conduce aquí a curvas elípticas de rango cero, lo que implica que tanto $12$ y $13$ no son buenas.

Por lo tanto, $13$ es el mayor número no bueno.

Answer 2

Una nota sobre la observación " $n$ bueno implica $2n + 2$ bueno":

La primera observación es que $n$ es bueno si existe un números racionales $a_1, \dotsc, a_m$ tal que $n = (a_1 + \dotsc + a_m)(1/a_1 + \dotsc + 1 / a_m)$ . Esto se debe a que se pueden multiplicar todos los $a_i$ por el lcm de sus denominadores.

La segunda observación es que $n$ es bueno si existen números racionales positivos tales que $n = 1/a_1 + \dotsc + 1/a_m$ y $a_1 + \dotsc + a_m = 1$ . Esto se debe a que se pueden multiplicar todos los $a_i$ por la inversa de su suma.

Por último, si $n = 1/a_1 + \dotsc + 1/a_m$ con $a_1 + \dotsc + a_m = 1$ , entonces tomando $a_i' = a_i / 2$ para $1\leq i \leq m$ y $a_{m + 1}' = 1/2$ nos da $2n + 2$ .

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Mirando la prueba de Graham citada anteriormente, veo que esta observación está efectivamente a medio camino de la prueba real. Es decir, necesitamos un segundo resultado que $n$ bueno implica $2n + 179$ bueno, para ocuparse de los enteros de impar. Entonces el resultado se deduce del hecho de que todos los enteros de $78$ a $333$ son buenas.

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Como no requerimos el $a_i$ para ser diferente, podemos tomar $a_i' = a_i / 2$ para $1 \leq i \leq m$ , $a_{m + 1}' = 1/3$ , $a_{m + 2}' = 1/6$ y obtener $2n + 9$ Bien.

Esto también sugiere que podríamos mejorar significativamente el límite de Graham.

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Tras el comentario de Max Alekseyev, esta secuencia OEIS dice que todos los enteros positivos excepto $2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21, 23$ son egipcios, y por lo tanto buenos.

Como nuestra definición de "bueno" es más débil que la de "egipcio", no a priori excluir la posibilidad de que algunos de los números mencionados sean todavía buenos.

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Por lo tanto, sólo queda ver si los números anteriores son buenos.

La tarea se divide en $m = 2, 3, 4$ .

Para $m = 2$ está claro que sólo para $n = 4$ la ecuación $(x + y)(1/x + 1/y) = n$ tiene solución racional $(x, y)$ .

Para $m = 3$ nos lleva a la ecuación $(x + y + z)(xy + yz + zx) = nxyz$ . Suponiendo que $n > 9$ y elegir el punto $[x, y, z] = [-1, 1, 0]$ como el punto en el infinito, obtenemos una curva elíptica.

Una ecuación de Weierstrass viene dada por $Y^2 = X^3 + (n^2 - 6n - 3)X^2 + 16nX$ , donde $X = \frac{4n(x + y)}{x + y - (n - 1)z}$ , $Y = \frac{4n(n - 1)(x - y)}{x + y - (n - 1)z}$ . Para volver $[x, y, z]$ de $X, Y$ tenemos la fórmula $[x, y, z] = [(n - 1)X + Y, (n - 1)X - Y, 2X - 8n]$ .

Esta curva tiene seis puntos de torsión, que corresponden a soluciones inútiles de nuestra ecuación. Además, el grupo de Mordell-Weil tiene rango $0$ para todo lo anterior $n$ , excepto $n = 14, 15$ . Esto demuestra que $n = 12, 13$ no son buenas.

Para $n = 14$ tenemos una solución $(3, 10, 15)$ .

Para $n = 15$ tenemos una solución $(1, 3, 6)$ .

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Gracias de nuevo a Max Alekseyev, $n = 19, 21, 23$ son todos buenos, con soluciones $(5,8,12,15), (8,14,15,35), (76,220,285,385)$ respectivamente.

Conclusión: Un número entero positivo es bueno si y sólo si no es uno de $2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13$ .

Answer 3

Puedes encontrar un número infinito de buenos números $n$ . Puede utilizar la fórmula $$\frac{1}{\frac{2!}{1}}+\frac{1}{\frac{3!}{2}}+\frac{1}{\frac{4!}{3}}+...+\frac{1}{\frac{m!}{m-1}}+\frac{1}{m!}=1$$ y deducimos que $n=(2!/1+3!/2+...+m!/(m-1)+m!)(\frac{1}{\frac{2!}{1}}+\frac{1}{\frac{3!}{2}}+\frac{1}{\frac{4!}{3}}+...+\frac{1}{\frac{m!}{m-1}}+\frac{1}{m!})$ es obviamente bueno.

Answer 4

Cualquier $n$ que es de la forma $4P$ donde $P$ es un número perfecto es bueno: sólo hay que considerar como un conjunto $\{a_{i}\}$ el conjunto de sus divisores. Como la suma de sus recíprocos es igual a $2$ esto garantiza que su producto es un número entero, por lo que $n$ es bueno.