Cuando hice "Betti cohomology" vienen a ser utilizado de la manera que es hoy? (y cómo se utiliza)

Question

Esta es una especie de mezcla de matemáticas y de historia de la cuestión.

Primero la parte de matemáticas: pensamiento acerca de ella, yo en realidad no saben cómo utilizar correctamente el término "Betti cohomology". Sé que debería, pero yo no. Betti cohomology de una variedad $X$ definida sobre un campo de $k\subseteq \mathbb{C}$ hace referencia a la singular cohomology de la asociada al complejo espacio de $X(\mathbb{C})$. Pero, ¿qué coeficientes, integral o racional? O incluso los sistemas locales? Lo que es más importante, compleja conjugación induce una involución en $X(\mathbb{C})$ y, a continuación, también en la cohomology. Parece que a veces esto es parte de la estructura de Betti cohomology, a veces no. Así que esta es la parte de matemáticas de mi confusión - tal vez alguien puede decirme cómo debo utilizar el término Betti cohomology de forma adecuada.

Siguiente (y más en serio), suponiendo que se nos han aclarado cómo el término "Betti cohomology" se supone que se utiliza hoy en día - ¿cómo esta evolución? El artículo de la Wikipedia alemana afirma que Poincaré acuñó el término "números de Betti" de las filas de singular homología de grupos debido a que estos rangos de acuerdo con los números de Betti se había definido para las superficies. Así que, ¿cuáles son las posibles razones para llamar singular cohomology de los asociados espacio complejo "Betti cohomology"? Que los papeles fueron decisivos en la toma de Betti cohomology un término popular? ¿Alguien puede arrojar luz sobre la historia de la terminología?

PS: me etiqueten la pregunta ag.algebraico-porque la geometría de la "Betti cohomology" parece ser predominantemente utilizado en la geometría algebraica relacionados con las comunidades. Siéntase libre de volver a etiquetar si se considera inapropiado.

Answer 1

Algunas de estas cosas se explican en detalle en este artículo:

• Charles Weibel, la Historia de Álgebra Homológica (1999)

En particular, después de revisar el trabajo de Riemman y Betti, dice:

Inspirado por Betti del papel, Poincaré (1854-1912) desarrollado una más correcta la teoría de la homología en su histórico de 1895 papel "Analysis Situs". [...] En honor a Enrico Betti, Poincaré se define la enésima Betti número de V $b_n+1$ donde $b_n$ es el tamaño de un máximo de independiente de la familia. Hoy llamamos a $b_n$ el nésimo número de Betti, porque es la dimensión de lo racional espacio vectorial $H_n(V;\mathbb{Q})$.

La referencia en cuestión es:

• Henri Poincaré, el Análisis situs (1895) Journal de l'École Polytechnique

También, el seguimiento de las notas mencionadas en los comentarios son:

• Henri Poincaré, Complément à l ' Análisis Situs (1899) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo

• Henri Poincaré, Segundo complément à l ' Análisis Situs (1900) Actas de la Sociedad Matemática de Londres

También hay un moder traducción de Poincaré original de papel y un total de cinco "suplementos":

• Henri Poincaré, Papeles en Topología: Análisis Situs, y Sus Cinco Suplementos (traducido por John Stillwell, 2009)

Como para la evolución hacia el uso moderno de Betti cohomology, este párrafo de Weibel la encuesta parece relevante:

Álgebra homológica en el siglo 19, en gran medida consistió en una gradual esfuerzo para definir los "números de Betti" de un (piecewise linear) colector. Comenzando con la de Riemann de la noción de género, vemos la gradual desarrollo de invariantes numéricos por Riemann, Betti y Poincaré: los números de Betti de Torsión y los coeficientes de un espacio topológico. De hecho, el tema realmente no se mueven más allá de estos invariantes numéricos hasta cerca de 1930. Y no se ocupaba de nada a excepción de los invariantes de espacios topológicos unidad acerca de 1945.

Yo todavía no sé dónde está el uso de Betti cohomology viene, así que esto no es realmente una respuesta; espero que alguien te pueda ayudar. Mi mejor conjetura es que es de aproximadamente el mismo tiempo que el concepto de Weil cohomology de la teoría. Los trabajos en los que el clásico teorema de Betti cohomology probado nunca use ese nombre, véase, por ejemplo:

• Jean-Pierre Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique (1956)

• Michael Artin, El étale topología de esquemas (1968)