Kodaira dimensión de simétrica productos de curvas

Question

¿Cuál es la Kodaira dimensión de simétrica productos de curvas? Es decir, dada una proyectiva lisa, conectado curva compleja $C$, ¿cuál es la Kodaira dimensión de $C^{(d)}=C^d/\mathfrak S_d$?

Al $d> g$, el género de $C$,, a continuación, $C^{(d)}$ es un paquete en espacios proyectivos sobre el Jacobiano de $C$, por lo tanto, todos pluriforms en $C^{(d)}$ desaparecen en las fibras de este fibration y $\kappa(C^{(d)})=-\infty$ en este caso. (Dicho de otro modo, $C^{(d)}$ es uniruled.)

Es algo conocido por $2\leq d\leq g-1$? (Esta pregunta se pide por este otro post.) Sospecho que la respuesta va a depender fuertemente de la multa propiedades de la curva de $X$ (gonality, Brill-Noether propiedades), y puede no ser un general y ordenada de respuesta.

Tal vez sorprendentemente, el análogo de la pregunta en las dimensiones superiores es bastante diferente ya que si $X$ es un proyectiva lisa conectado variedad de dimensión $>1$, la de Kodaira dimensión de (cualquier desingularization) de $X^{(d)}$ es igual a $d \kappa(X)$ donde $\kappa(X)$ es el de Kodaira dimensión de $X$ (D. Arapura, S. Archava, Kodaira dimensión de simétrica poderes, Proc. AMS, 2003).

[Editado para corregir una afirmación incorrecta, como se ha señalado por @pbelmans]

Answer 1

Deje $C$ ser un suave proyectiva conectado curva compleja de género $\geq 2$. Permítanme mostrarles que $C^{(d)}$ es de tipo general, si $1\leq d\leq g-1$.

Equivalentemente, que uno necesita para mostrar que la imagen de $W_d$ de % de $C^{(d)}$ en el jacobiano $J(C)$ es de tipo general, debido a que $C^{(d)}\to W_d$ es birational. Si $W_d$ no eran de tipo general, entonces, por [Ueno, la Clasificación de las variedades algebraicas I, Teorema 3.10], no sería un no-trivial abelian variedad $A\subset J(C)$ tal que $W_d$ es estable por la traducción por $A$ (este es el argumento en el MP del comentario anterior). Pero entonces, $W_{g-1}$ también sería estable de la traducción por $A$. Ahora elija un punto de $x$ fuera de $W_{g-1}$ y considerar la órbita $A.x$ : es un positivo dimensiones variedad evitando $W_{g-1}$. Esto es una contradicción, porque $W_{g-1}$ es un divisor amplio: la teta del divisor.